10. О выборе содержания образования и его реализации

Положение десятое. Каким разделам математики и в каком объеме надо учить студентов данной специальности - должны определять специалисты в этой области, а как этому учить, это дело профессионалов-математиков.

По этому тезису очень трудно дискутировать, по-тому что, как это уже дважды отмечалось, что-что, а уж как учить, каждый считает, что знает лучше других, и переубедить его в чем-либо практически невозможно, особенно, пожалуй, в том случае, когда он не является математиком, а лишь потребителем математики.

Наиболее разумным представляется положение (которое фактически и осуществляется, как правило,

в высших учебных заведениях, однако периодически вызывает резкую критику со стороны специальных кафедр), когда объем математических знаний, степень владения ими и характер приобретаемых студентами навыков определяется ведущими специалистами в области будущей специализации студентов. Время, отводимое на изучение этого материала, должно, естественно, определяться совместно специалистами в указанной области и математиками, причем следует принимать во внимание добавление всех необходимых для внутренней связи звеньев, присущих математике, как и всякой другой науке, о которых говорилось выше. Планирование, разработка методики преподавания и осуществление самого процесса обучения студентов математике должно проводиться всецело самими математиками. В действительности дело обычно не идет так гладко и периодически осложняется конфликтами между математическими и специальными кафедрами.

Иногда в этих конфликтах бывают виноваты сами преподаватели математики. Случается, что они из-за какого-то снобизма не хотят (я думаю, случаев, когда не могут, очень мало, и они не типичны при наличии достаточно квалифицированных кадров. Вопрос же о подготовке кадров преподавателей математики для втузов сам по себе настолько сложен, что здесь мы не будем его касаться, а будем исходить из того, что кадры необходимой квалификации имеются в наличии, хотя на самом деле это далеко не так) прислушаться к пожеланиям к курсу математики, высказываемым специальными кафедрами, и догматически излагают одну теорему за другой, "не обращая внимания на необходимость активного творческого овладевания студентами излагаемого материала, на развитие у них интуиции в нужном направлении, на создание у них мировоззрения практика, использующего математический аппарат лишь для решения конкретных задач и не интересующегося им как самоцелью. Встречается иногда среди преподавателей математики, воспитанных в духе чистой математики, недооценка и даже пренебрежительное отношение к методам численного решения задач и переоценка общих качественных теорий, нежелание осознать разницу между доказательством существования решения задачи и отысканием алгоритмического устойчивого метода нахождения приближенного решения, даже несмотря на то, что такие постановки задач являются чисто математическими, очень важными и нередко более трудными и глубокими, чем относящиеся к ним вопросы "чистой" математики.

Следует отметить еще один близкий по духу упрек математикам. Очень часто, объясняя математические понятия, широко используемые в физике (или в какой-либо другой области знания), они не перекидывают мостика, связывающего эти понятия с их традиционными применениями, а это необходимо делать. Подобная ситуация случается, например, с той же дельта-функцией или с теорией скалярных и векторных полей. Так, автору многократно приходилось убеждаться, что после изучения в курсе анализа понятий дивергенции, потока векторного поля и доказательства теоремы Гаусса - Остроградского у студентов вызывал затруднение ответ на вопрос: чему равна дивергенция напряженности поля точечного единичного электрического заряда на некотором расстоянии от него.

Подобная ситуация, конечно, недопустима; справедливости ради, следует сказать, что ответственность за нее несет в равной степени с кафедрой математики и кафедра физики. В результате изучения каких-либо понятий в математике у студента не должно быть затруднений в использовании их в физике.

Недостатки в преподавании математики часто вместо естественного их анализа приводят к активному вмешательству в процесс обучения математики со стороны специальных кафедр и деканатов, что, как правило, отнюдь не содействует улучшению математической подготовки студентов. Известные мне попытки нематематиков взять в свои руки обучение математике не дали положительных результатов, что, конечно, естественно. Безусловно, что никто лучше хорошего профессионала-математика не сможет научить математике, на то он и хороший специалист своего дела. Лишь он, владея всем предметом в целом, может по существу разобраться, что следует доказывать в общем виде, а что в частном, а что и вовсе не доказывать, какие полезней всего рассмотреть примеры и т. д. и т. п.

Для правильной постановки преподавания математики необходимо достичь определенного уровня взаимопонимания между математическими и специальными кафедрами. Там, где этот уровень достаточно высок, а таких примеров довольно много, успех налицо.

Мы сформулировали десять основных положений, на которых можно строить преподавание математики в высших учебных заведениях. Конечно, возможно было бы исходить и из других положений: в методике нельзя с помощью только одних логических рассуждений установить, что истинно и что ложно. Лишь хорошие результаты обучения студентов, достигнутые в результате использования той или иной методики преподавания, могут служить обоснованием целесообразности ее применения. Следует заметить, что указанные десять принципов лежат, по существу, в основе преподавания математики во многих высших учебных заведениях и дают возможность выпускать специалистов, умеющих достаточно квалифицированно и успешно использовать математический аппарат в своей работе.

Однако успокаиваться на достигнутых успехах, когда наблюдаются невиданные ранее темпы развития наук, в том числе и математики, и особенно, когда эти темпы непрерывно убыстряются, нельзя.

Небывалый рост и прогресс научных исследований, а также увеличение в связи с этим процента научных работников в общей массе людей имеет своим прямым следствием возникновение огромного потока информации или, как говорят, информационного взрыва.

Постоянно увеличивается и объем новой математической информации: решаются разнообразные задачи (теоретические, экспериментальные, прикладные), возникают новые понятия, строятся новые математические модели, развиваются и обобщаются старые теории, создаются новые, изобретаются новые методы исследования, доказываются новые теоремы, выдвигаются гипотезы, и все это находит свое отражение во все возрастающем количестве публикаций научных и методических статей, монографий, учебников (хотя последних по-прежнему во многих случаях остается недостаточно - учебная литература не успевает отражать новейшие достижения современной науки и техники), депонированных рукописей, диссертаций. Растет число научных издательств, вновь и вновь создаются новые математические журналы, расширяются ротопринтные издания, приобретающие все большее и большее значение для быстрого обмена информацией, и т. д. и т. п.

Дело не только в количественном увеличении информации. В ней происходят и большие качественные изменения. Значительная ее часть приобретает узкоспециальные черты, благодаря чему она делается доступной для понимания и правильной оценки лишь ограниченному кругу специалистов в соответствующей области.

В связи с увеличением роста количества информации и вследствие этого с ее обилием, с которым человечество прежде не встречалось, в том числе и с обилием безусловно полезной информации, а также в связи с тем, что она качественно делается иной, возникает важная и актуальная задача систематизации имеющихся информационных сведений.

Наличие такой систематизации может существенно помочь своевременному нахождению полезной информации и умению выделить из нее часть, необходимую для достижения той или иной поставленной цели, в частности для оптимального .отбора информации, которая должна быть сообщена студентам и усвоена ими в процессе их обучения в высшем учебном заведении. Это очень сложная задача.

Поэтому сейчас, как никогда, на представителях старшего поколения ученых лежит ответственность за выбор того нужного и принципиально важного материала из всего богатства знаний, накопленного современной наукой, который действительно необходимо передать молодежи, и притом в первую очередь. Здесь особенно важно чувство меры.

В заключение еще раз отметим, что объем информации, которую может усвоить учащийся, не беспределен. Поэтому из каких бы принципов ни исходить при отборе материала, который мы собираемся передать нашим ученикам, какие бы при этом ни ставить перед собой цели, если мы хотим добиться успеха в обучении, то всегда полезно помнить афоризм Козьмы Пруткова (Сочинения Козьмы Пруткова. Изд-во "Художественная литература", М., 1953)): "Никто не обнимет необъятного!".