Мгновенное умножение

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям. Например, вычисление 988² выполняется так:

988 × 988 = (988 + 12) × (988 - 12) + 122 = 1000 × 976 + 144 = 976144.

Легко сообразить, что вычислитель в этом случае пользуется следующим алгебраическим преобразованием:

а2 = а2 - b2 + b2 = (а + b) (а - b) + b2.

На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

 272 = (27 + 3) (27 - 3) + 32 = 729, 
 632 = 66 × 60 + 32 = 3969, 
 182 = 20 × 16 + 22 =  324, 
 372 = 40 × 34 + 32 = 1369, 
 482 = 50 × 46 + 22 = 2304, 
 542 = 58 × 50 + 42 = 2916. 

Далее, умножение 986 × 997 выполняется так:

986 × 997 =(986 - 3) × 1000 + 3 × 14 = 983042.

На чем основан этот прием? Представим множители в виде

(1000 - 14) × (1000 - 3)

и перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

1000 × 1000 - 1000 × 14 - 1000 × 3 + 14 × 3.

Делаем преобразования:

1000(1000 - 14) - 1000 × 3 + 14 × 3 = 1000 × 986 - 1000 × 3 + 14 × 3 = 1000(986 - 3) + 14 × 3.

Последняя строка и изображает прием вычислителя.

Интересен способ перемножения двух трехзначных чисел, у которых число десятков одинаково, а цифры единиц составляют в сумме 10. Например, умножение

783 × 787

выполняется так:

78 × 79 = 6162; 3 × 7 = 21;

результат:

616221.

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

(780 + 3) (780 + 7) = 780 × 780 + 780 × 3 + 780 × 7 + 3 × 7 = 780 × 780 + 780 × 10 + 3 × 7 = 780(780 + 10) + 3 × 7 = 780 × 790 + 21 = 616200 + 21.

Другой прием для выполнения подобных умножений еще проще:

783 × 787 = (785 - 2)(785 + 2) = 7852 - 4 = 616225 - 4 = 616221.

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число 785.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:

 352; 3 × 4 = 12. Отв. 1225. 
 652; 6 × 7 = 42. Отв. 4225. 
 752; 7 × 8 = 56. Отв. 5625. 

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.

Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так:

10а + 5.

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

100а2 + 100а + 25 = 100а (а + 1) + 25.

Выражение а (а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 - все равно, что приписать к числу 25.

Из того же приема вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и 1/2.

Например:

 (3 1/2)2 = 3,52 = 12,25 = 12 1/4, 

 (7 1/2)2 = 56 1/4, (8 1/2)2 = 72 1/4 и т. п.