Тремя одинаковыми цифрами

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие -нет. Рассмотрим общий случай.

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а. Расположению

222, 333, 444

соответствует написание

a10a+a , т. е. a11a.

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

ааa.

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то большая величина отвечает большему показателю. Когда же

аa > 11а? 

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

aa-1 > 11.

Легко видеть, что аa-1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

44-1 > 11,

между тем как степени

32 и 21

меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел - другое.