Число возможных шахматных партий

Займемся приблизительным подсчетом числа различных шахматных партий, какие вообще могут быть сыграны на шахматной доске. Точный подсчет в этом случае немыслим, но мы познакомим читателя с попыткой приближенно оценить величину числа возможных шахматных партий. В книге бельгийского математика М. Крайчика "Математика игр и математические развлечения" находим такой подсчет:

"При первом ходе белые имеют выбор из 20 ходов (16 ходов восьми пешек, каждая из которых может передвинуться на одно или на два поля, и по два хода каждого коня). На каждый ход белых черные могут ответить одним из тех же 20 ходов. Сочетая каждый ход белых с каждым ходом черных, имеем 20 × 20 = 400 различных партий после первого хода каждой стороны.

После первого хода число возможных ходов увеличивается. Если, например, белые сделали первый ход е2 - e4, они для второго хода имеют выбор из 29 ходов. В дальнейшем число возможных ходов еще больше. Один только ферзь, стоя, например, на поле d5, имеет выбор из 27 ходов (предполагая, что все поля, куда он может стать, свободны). Однако ради упрощения расчета будем держаться следующих средних чисел:

• по 20 возможных ходов для обеих сторон при первых пяти ходах;
• по 30 возможных ходов для обеих сторон при последующих ходах.

(20 × 20)5 × (30 × 30)35".

Чтобы определить приближенно величину этого выражения, пользуемся следующими преобразованиями и упрощениями:

(20 × 20)5 × (30 × 30)35 = 2010 × 3070 = 210 × 370 × 1080.

Заменяем 2¹⁰ близким ему числом 1000, т. е. 10³. Выражение 3⁷⁰ представляем в виде

370 = 368 × 32 ≈ 10(34)17 ≈ 10 × 8017 = 10 × 817 × 1017 = 251 × 1018 = 2(210)5 × 1018 ≈ 2 × 1015 × 1018 = 2 × 1033.

Следовательно,

(20 × 20)5 × (30 × 30)35 ≈ 103 × 2 × 1033 × 1080 = 2 × 10116.

Число это оставляет далеко позади себя легендарное множество пшеничных зерен, испрошенных в награду за изобретение шахматной игры (2⁶⁴-1 ≈ 18 × 10¹⁸). Если бы все население земного шара круглые сутки играло в шахматы, делая ежесекундно по одному ходу, то для исчерпания всех возможных шахматных партий такая непрерывная поголовная игра должна была бы длиться не менее 10¹⁰⁰ веков!