Суеверный велосипедист

Задача

До недавнего времени каждому велосипеду присваивался номер подобно тому, как это делается для автомашин. Эти номера были шестизначные.

Некто купил себе велосипед, желая выучиться ездить на нем. Владелец велосипеда оказался на редкость суеверным человеком. Узнав о существовании повреждения велосипеда, именуемого "восьмеркой", он решил, что удачи ему не будет, если ему достанется велосипедный номер, в котором будет хоть одна цифра 8. Однако, идя за получением номера, он утешал себя следующим рассуждением. В написании каждого числа могут участвовать 10 цифр: 0, 1, ... , 9. Из них "несчастливой" является только цифра 8. Поэтому имеется лишь один шанс из десяти за то, что номер окажется "несчастливым".

Правильно ли было это рассуждение?

Решение

Всего имелось 999999 номеров: от 000001, 000002 и т. д. до 999 999. Подсчитаем, сколько существует "счастливых" номеров. На первом месте может стоять любая из девяти "счастливых" цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. На втором - также любая из этих девяти цифр. Поэтому существует 9 × 9 = 9² "счастливых" двухзначных комбинаций. К каждой из этих комбинаций можно приписать (на третьем месте) любую из девяти цифр, так что "счастливых" трехзначных комбинаций возможно 9² × 9 = 9³.

Таким же образом определяем, что число шестизначных "счастливых" комбинаций равно 9⁶. Следует, однако, учесть, что в это число входит комбинация 000000, которая непригодна в качестве велосипедного номера. Таким образом, число "счастливых" велосипедных номеров равно 9⁶ - 1 = 531440, что составляет немногим более 53% всех номеров, а не 90%, как предполагал велосипедист.

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что среди семизначных номеров имеется больше "несчастливых" номеров, чем "счастливых".