Глава девятая. Геометрические головоломки

Для разрешения собранных в этой главе головоломок не требуется знания полного курса геометрии. С ними в силах справиться и тот, кто знаком лишь со скромным кругом начальных геометрических сведений. Две дюжины предлагаемых здесь задач помогут читателю удостовериться, действительно ли владеет он теми геометрическими знаниями, которые считает усвоенными. Подлинное знание геометрии состоит не только в умении перечислять свойства фигур, но и в искусстве распоряжаться ими на практике для решения реальных задач. Что проку в ружье для человека, не умеющего стрелять?

Пусть же читатель проверит, сколько метких попаданий окажется у него из 24 выстрелов по геометрическим мишеням.

72. Телега.

Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

Рис. 65. Почему передняя ось больше стирается, чем задняя?

73. В увеличительное стекло.

Угол в 1 1/2° рассматривают в лупу, увеличивающую в 4 раза. Какой величины покажется угол (рис. 66)?

Рис. 66. Какой величины покажется угол?

74. Плотничий уровень.

Вам знаком, конечно, плотничий уровень с газовым пузырьком (рис. 67), отходящим в сторону 01 метки, когда основание уровня имеет наклон. Чем больше этот наклон, тем больше отодвигается пузырек от средней метки. Причина движения пузырька та, что, будучи легче жидкости, в которой он находится, он всплывает вверх. Но если бы трубка была прямая, пузырек при малейшем наклоне отбегал бы до самого конца трубки, т. е. до наиболее высокой ее части. Такой уровень, как легко понять, был бы на практике очень неудобен. Поэтому трубка уровня берется изогнутая, как показано на рис. 67. При горизонтальном положении основания такого уровня пузырек, занимая высшую точку трубки, находится у ее середины; если же уровень наклонен, то высшей точкой трубки становится уже не ее середина, а некоторая соседняя с ней точка, и пузырек отодвигается от метки на другое место трубки.

Рис 67. Плотничий уровень

Вопрос задачи состоит в том, чтобы определить, на сколько миллиметров отодвинется от метки пузырек, если уровень наклонен на полградуса, а радиус дуги изгиба трубки - 1 м.

75. Число граней.

Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным:

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Раньше чем заглянуть в ответ, внимательно вдумайтесь в задачу.

76. Лунный серп.

Фигуру лунного серпа (рис. 68) требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямые линии.

Рис. 68. Лунный серп

Как это сделать?

77. Из 12 спичек.

Из 12 спичек можно составить фигуру креста (рис. 69), площадь которого равна 5 "спичечным" квадратам.

Рис 69. Крест из 12 спичек

Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только 4 "спичечным" квадратам.

Пользоваться при этом услугами измерительных приборов нельзя.

78. Из 8 спичек.

Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рис. 70; площади их, конечно, различны. Задача состоит в том, чтобы составить из 8 спичек фигуру, охватывающую наибольшую площадь.

Рис. 70. Как из 8 спичек сложить фигуру наибольшей площади?

79. Путь мухи.

На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в трех сантиметрах от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха (рис. 71).

Рис. 71. Укажите мухе путь к капле меда

Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки 20 см; диаметр - 10 см.

Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи: для этого ей нужно было бы обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы.

80. Найти затычку.

Перед вами дощечка (рис. 72) с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым. Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти отверстия?

Рис. 72. Найдите одну затычку к этим трем отверстиям

81. Вторая затычка.

Если вы справились с предыдущей задачей, то, быть может, вам удастся найти затычку и для таких отверстий, какие показаны на рис. 73?

Рис. 73. Существует ли одна затычка для этих отверстий?

82. Третья затычка.

Наконец, еще задача в том же роде: существует ли одна затычка для трех отверстий рис. 74?

Рис. 74. Можно ли для этих трех отверстий изготовить одну затычку?

83. Продеть пятак.

Запаситесь двумя монетами современного чекана: 5-копеечной и 2-копеечной. На листке бумаги сделайте кружок, в точности равный окружности 2-копеечной монеты, и аккуратно вырежьте его.

Как вы думаете: пролезет пятак через эту дыру? Здесь нет подвоха: задача подлинно геометрическая.

84. Высота башни.

В вашем городе есть достопримечательность - высокая башня, высоты которой вы, однако, не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?

85. Подобные фигуры.

Эта задача предназначается для тех, кто знает, в чем состоит геометрическое подобие. Требуется ответить на следующие два вопроса:

1. В фигуре чертежного треугольника (рис. 75) подобны ли наружный и внутренний треугольники?
   
   Рис. 75. Подобны ли наружный и внутренний треугольники?
   
   
2. В фигуре рамки (рис. 76) подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?
   
   Рис. 76. Подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?
   
   

86. Тень проволоки.

Как далеко в солнечный день тянется в пространстве полная тень, отбрасываемая телеграфной проволокой, диаметр которой 4 мм?

87. Кирпичик.

Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

88. Великан и карлик.

Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?

89. Два арбуза.

На колхозном рынке продаются два арбуза разных размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1 1/2 раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

90. Две дыни.

Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая - 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить?

91. Вишни.

Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

92. Модель башни Эйфеля.

Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8000000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг.

Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?

93. Две кастрюли.

Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй.

Во сколько раз она тяжелее?

94. На морозе.

На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково. Кому из них холоднее?