Глава седьмая. Рассказы о числах-великанах
59. Выгодная сделка.
Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.
1. Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
"Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. - Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
- Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку.
Я ушам не верил:
- Одну копейку? - переспрашиваю.
- Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
- Ну, - не терпится мне. - А дальше?
- А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.
- И потом что? - спрашиваю.
- Все, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.
- Ладно, - говорю. - Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
- Будь покоен, - говорит; - завтра с утра жди.
Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать".
2. Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.
- Деньги готовь, - говорит. - Я свои принес.
И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги - настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:
- Вот мое по уговору. Твой черед платить.
Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.
- Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушел.
Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.
Рис. 50. 'Сто тысяч с неба свалилось!'
Ночью взяло его сомнение: "не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?
Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:
- К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.
Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось...
Явился незнакомец и на третий день - третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.
Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч - за 8 копеек.
Пришла и пятая сотня тысяч - за 16 копеек.
Потом шестая за 32 копейки.
Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:
1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 к.
Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает...
А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 р. 28 к., на 9-й - 2 р. 56 к., на 10-й - 5 р. 12 к., на 11-й - 10 р. 24 к., на 12-й - 20 p. 48 к., на 13-й - 40 р. 96 к., на 14-й - 81 р. 92 к.
Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.
Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:
за 15-ю сотню тысяч 163 р. 84 к., за 16-ю сотню тысяч 327 р. 68 к., за 17-ю сотню тысяч 655 р. 36 к., за 18-ю сотню тысяч 1310 р. 72 к., за 19-ю сотню тысяч 2621 р. 44 к.
Впрочем, богач считал себя еще далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.
Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.
Вот дальнейшие платежи:
за 20-ю сотню тысяч 5242 р. 88 к., за 21-ю сотню тысяч 10485 р. 76 к., за 22-ю сотню тысяч 20971 р. 52 к., за 23-ю сотню тысяч 41943 р. 04 к., за 24-ю сотню тысяч 83886 р. 08 к., за 25-ю сотню тысяч 167772 р. 16 к., за 26-ю сотню тысяч 335544 р. 32 к., за 27-ю сотню тысяч 671088 р. 64 к.
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.
Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...
Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:
за 28-ю сотню тысяч 1342177 р. 28 к., за 29-ю сотню тысяч 2684354 р. 56 к., за 30-ю сотню тысяч 5368709 р. 12 к.
Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу
10737418 р. 23 к.
Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.
3. Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков миллионера; другими словами - как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т. д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
1 = 1 2 = 1 + 1 4 = (1 + 2) + 1 8 = (1 + 2 + 4) + 1 16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1 32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1 и т. д.
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32768) сумму всех предыдущих, иначе сказать - прибавляем то же последнее число без единицы (32768 - 1). Получаем 65535.
Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз. Его последний платеж был 5368709 р. 12 к.
Поэтому, сложив 5368709 р. 12 к. и 5368709 р. 11 к., получаем сразу искомый результат:
10737418 р. 23 к.
60. Городские слухи.
Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз ие пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.
Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.
1. В небольшой городок с 50-тысячным населением приехал в 8 час. утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 8 1/4 час. утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям.
Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек.
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 8 3/4 часам утра новость стала известна
13 + (3 x 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
в 9 час. новость узнают 40 + (3 х 27) = 121 чел., в 9 1/4 час. новость узнают 121 + (3 х 81) = 364 чел., в 9 1/2 час. новость узнают 364 + (3 х 243) = 1093 чел.
Рис. 51. Путь распространения слуха
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
в 9 3/4 час. новость узнают 1093 + (3 х 729) = 3280 чел., в 10 час. новость узнают 3280 + (3 х 2187) = 9841 чел.
Еще спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города:
9841 + (3 х 6561) = 29524.
И, значит, ранее чем в половине одиннадцатого дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 час. утра известна была только одному человеку.
2. Проследим теперь, как выполнен был предыдущий подсчет.
Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
1 + 3 + (3 х 3) + (3 х 3 х 3) + (3 х 3 x 3 x 3) + и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1+2+4+8 и т. д.? Это возмояшо, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
1 = 1 3 = 1 x 2 + 1 9 = (1 + 3) х 2 + 1 27 = (1 + 3 + 9) х 2 + 1 81 = (1 + 3 + 9 + 27) х 2 + 1 и т. д.
Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув в последнем числе единицу).
Например, сумма чисел
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
3. В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал ее только трем гражданам. Но если бы жители города были еще разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3 гражданам, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее.
При передаче, например, пятерым картина осведомления города была бы такая:
В 8 час. = 1 чел., В 8 1/4 час. 1 + 5 = 6 чел., В 8 1/2 час. 6 + ( 5 x 5) = 31 чел., В 8 3/4 час. 31 + ( 25 x 5) = 156 чел., В 9 час. 156 + ( 125 x 5) = 781 чел., В 9 1/4 час. 781 + ( 625 x 5) = 3906 чел., В 9 1/2 час. 3906 + (3125 x 5) = 19531 чел.
Ранее чем в 9 3/4 часа утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:
В 8 час. = 1, В 8 1/4 час. 1 + 10 = 11, В 8 1/2 час. 11 + 100 = 111, В 8 3/4 час. 111 + 1000 = 1111, В 9 час. 1111 + 10000 = 11111.
Следующее число этого ряда, очевидно, 111111 - это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
61. Лавина дешевых велосипедов.
В дореволюционные годы были у нас, - а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся, - предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:
Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.
За 10 руб. высылался пока не самый велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, - но этот маленький труд в счет не шел.
Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 руб.? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.
На первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось: велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке, - она получала за свой товар полную его стоимость.
А между тем вся затея - несомненное мошенничество. "Лавина", как называли эту аферу у нас, или "снежный ком", как величали ее французы, вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они-то и уплачивали фирме разницу между 50-рублевой стоимостью велосипедов и 10-рублевой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймете, дав себе труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно возрастает число людей, вовлекаемых в лавину.
Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находит покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами четверых новых участников.
Эти четверо должны сбыть свои билеты 4x5, т. е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей завербовано.
Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20x5=100 других.
До сих пор каждый из "родоначальников" лавины втянул в нее
1 + 4 + 20 + 100 = 125 человек,
из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 - только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 руб. Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придется завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом.
Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растет по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов. Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:
1
4
20
100
500
2500
12500
62500
Если город велик, и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет 62 1/2 тысячи, то в рассматриваемый момент, т. е. на 8 "туре", лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутыми в нее. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же 4/5 имеются на руках билеты, которые некому сбыть.
Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллионы жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой. Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:
312500 1562500 7812500 39062500
На 12-м туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины.
Подведем итог тому, чего собственно достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами - заставляет четырех граждан облагодетельствовать пятого. Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердных распространителей ее товара. Правильно охарактеризовал эту аферу один из наших писателей* как "лавину взаимного объегоривания". Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства аферистов.
* (И. И. Ясинский)
62. Награда.
Вот что, по преданию, произошло много веков назад в Древнем Риме*.
* (Рассказ в вольной передаче заимствован из старинной латинской рукописи, принадлежащей одному из частных книгохранилищ Англии.)
1. Полководец Теренций, по приказу императора, совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.
Император ласково принял полководца, сердечно благодарил его за военные услуги империи и обещал в награду дать высокое положение в сенате.
Но Теренцию нужно было не это. Он возразил:
- Много побед одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь, и окружить имя твое славой. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но я устал воевать; прошла молодость, кровь медленнее бежит в моих жилах. Наступила пора отдохнуть в доме моих предков и насладиться радостями домашней жизни.
- Чего желал бы ты от меня, Теренций? - спросил император.
- Выслушай со снисхождением, государь! За долгие годы военной жизни, изо дня в день обагряя меч свой кровью, я не успел устроить себе денежного благополучия. Я беден, государь...
- Продолжай, храбрый Теренций.
- Если хочешь даровать награду скромному слуге твоему, - продолжал ободренный полководец, - то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно в достатке годы подле домашнего очага. Я не ищу почестей и высокого положения во всемогущем сенате. Я желал бы удалиться от власти и от жизни общественной, чтобы отдохнуть на покое. Государь, дай мне денег для обеспечения остатка моей жизни.
Император - гласит предание - не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги для себя и скупо тратил их на других. Просьба полководца заставила его задуматься.
- Какую же сумму, Теренций, считал бы ты для себя достаточной? - спросил он.
- Миллион динариев, государь.
Снова задумался император. Полководец ждал, опустив голову.
Наконец император заговорил:
- Доблестный Теренций! Ты великий воин, и славные подвиги твои заслужили щедрой награды. Я дам тебе богатство. Завтра в полдень ты услышишь здесь мое решение.
Теренций поклонился и вышел.
2. На следующий день в назначенный час полководец явился во дворец императора.
- Привет тебе, храбрый Теренций! - сказал император.
Теренций смиренно наклонил голову.
- Я пришел, государь, чтобы выслушать твое решение. Ты милостиво обещал вознаградить меня.
Император ответил:
- Не хочу, чтобы такой благородный воитель, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду. Выслушай же меня. В моем казначействе лежит 5 миллионов медных брассов*. Теперь внимай моим словам. Ты войдешь в казначейство, возьмешь одну монету в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим ногам. На другой день вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь здесь рядом с первой. В третий день принесешь монету, стоящую 4 брасса, и четвертый - стоящую 8 брассов, в пятый - 16, и так далее, все удваивая стоимость монеты. Я прикажу ежедневно изготовлять для тебя монеты надлежащей ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать монеты, будешь ты выносить их из моего казначейства. Никто не вправе помогать тебе; ты должен пользоваться только собственными силами. И когда заметишь, что не можешь уже больше поднять монету - остановись: уговор наш кончится, но все монеты, которые удалось тебе вынести, останутся твоими и послужат тебе наградой.
* (Мелкая монета, пятая часть динария.)
Жадно впивал Теренций каждое слово, сказанное императором.
Ему чудилось огромное множество монет, одна больше другой, которые вынесет он из государственного казначейства.
- Я доволен твоею милостью, государь, - ответил он с радостной улыбкой. - Поистине щедра награда твоя!
3. Начались ежедневные посещения Теренцием государственного казначейства. Оно помещалось невдалеке от приемной залы императора, и первые переходы с монетами не стоили Теренцию никаких усилий.
В первый день вынес он из казначейства всего один брасс. Это небольшая монета, 21 мм в поперечнике и 5 г весом*.
* (Вес пятикопеечной монеты современной чеканки.)
Легки были также второй, третий, четвертый, пятый и шестой переходы, когда полководец выносил монеты двойного, тройного, 8-кратного, 16-кратного и 32-кратного веса.
Седьмая монета весила в наших современных мерах 320 граммов и имела в поперечнике 8 1/2 см (точнее, 84 мм)*.
* (Если монета по объему в 64 раза больше обычной, то она шире и толще всего в 4 раза, потому что 4x4x4=64. Это надо иметь в виду и в дальнейшем при расчете размеров монет, о которых говорится в рассказе.)
На восьмой день Теренцию пришлось вынести из казначейства монету, соответствовавшую 128 единичным монетам. Она весила 640 г и была шириною около 10 1/2 см.
На девятый день Теренций принес в императорскую залу монету в 256 единичных монет. Она имела 13 см в ширину и весила более 1 1/4 кг.
На двенадцатый день монета достигла почти 27 см в поперечнике и весила 10 1/4 кг.
Император, до сих пор смотревший на полководца приветливо, теперь не скрывал своего торжества. Он видел, что сделано уже 12 переходов, а вынесено из казначейства всего только 2000 с небольшим медных монеток.
Тринадцатый день доставил храброму Теренцию монету, равную 4096 единичным монетам. Она имела около 34 см в ширину, а вес ее равнялся 20 1/2 кг.
На четырнадцатый день Теренций вынес из казначейства тяжелую монету в 41 кг весом и около 42 см шириною.
- Не устал ли ты, мой храбрый Теренций? - спросил его император, сдерживая улыбку.
- Нет, государь мой, - хмуро ответил полководец, стирая пот со лба.
Наступил пятнадцатый день. Тяжела была на этот раз ноша Теренция. Медленно брел он к императору, неся огромную монету, составленную из 16384 единичных монет. Она достигала 53 см в ширину и весила 80 кг - вес рослого воина.
На шестнадцатый день полководец шатался под ношей, лежавшей на его спине. Это была монета, равная 32768 единичным монетам и весившая 164 кг; поперечник ее достигал 67 см.
Полководец был обессилен и тяжело дышал. Император улыбался...
Когда Теренций явился в приемную залу императора да следующий день, он был встречен громким смехом. Теренций не мог уже нести свою ношу в руках, а катил ее впереди себя. Монета имела в поперечнике 84 см и весила 328 кг. Она соответствовала весу 65 536 единичных монет.
Рис. 52. Семнадцатая монета
Восемнадцатый день был последним днем обогащения Теренция. В этот день закончились его посещения казначейства и странствования с ношей в приемную залу императора. Ему пришлось доставить на этот раз монету, соответствовавшую 131 072 единичным монетам. Она имела более метра в поперечнике и весила 655 кг. Пользуясь своим копьем как рычагом, Теренций с величайшим напряжением сил едва вкатил ее в залу. С грохотом упала исполинская монета к ногам императора.
Теренций был совершенно измучен.
- Не могу больше... Довольно, - прошептал он.
Император с трудом подавил смех удовольствия, видя полный успех своей хитрости. Он приказал казначею исчислить, сколько всего брассов вынес Теренций в приемную залу.
Казначей исполнил поручение и сказал:
- Государь, благодаря твоей щедрости победоносный воитель Теренций получил в награду 262143 брасса.
Итак, скупой император дал полководцу около 20-й части той суммы в миллион динариев, которую просил Теренций.
Проверим расчет казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:
в 1-й день 1 брасс весом 5 г, на 2 день 2 брасса весом 10 г, на 3 день 4 брасса весом 20 г, на 4 день 8 брасса весом 40 г, на 5 день 16 брасса весом 80 г, на 6 день 32 брасса весом 160 г, на 7 день 64 брасса весом 320 г, на 8 день 128 брасса весом 640 г, на 9 день 256 брасса весом 1 кг 280 г, на 10 день 512 брасса весом 2 кг 560 г, на 11 день 1024 брасса весом 5 кг 120 г, на 12 день 2048 брасса весом 10 кг 240 г, на 13 день 4096 брасса весом 20 кг 480 г, на 14 день 8192 брасса весом 40 кг 960 г, на 15 день 16384 брасса весом 81 кг 920 г, на 16 день 32768 брасса весом 163 кг 840 г, на 17 день 65536 брасса весом 327 кг 680 г, на 18 день 131072 брасса весом 655 кг 360 г.
Мы уже знаем, как можно просто подсчитать сумму чисел таких рядов: для второго столбца она равна 262143. Теренций просил у императора миллион динариев, т. е. 5000000 брассов. Значит, он получил меньше просимой суммы в
5000000 : 262143 ≈ 19 раз.
63. Легенда о шахматной доске.
Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).
1. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к тропу повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь.
Мудрец поклонился.
- Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
- Не робей, - ободрил его царь. - Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
- Простое пшеничное зерно? - изумился царь.
- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32...
Рис. 53. 'За вторую клетку прикажи выдать два зерна'
- Довольно, - с раздражением прервал его царь. - Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
2. За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
- Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
- Почему медлят с этим делом? - гневно воскликнул царь. - Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. - Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...
- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца. - Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумьи.
- Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
3. Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.
Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски. Мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × и т. д. (64 раза).
Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек - 16. Значит, искомый результат равен
1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 16.
Перемножив 1024 × 1024, получим 1048576.
Теперь остается найти
1048576 × 1048576 × 1048576 × 16,
отнять от результата одну единицу - и нам станет известно искомое число зерен:
18446744073709551615.
Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12000000000000 куб. м, или 12000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300000000 км, - т. е. Вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!..
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.
В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей. Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.
64. Быстрое размножение.
Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек.
Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!
Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее
3000 × 3000 = 9000000 растений.
Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать
9000000 × 3000 = 27000000000.
А на четвертый год
27000000000 × 3000 = 81000000000000.
На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным
81000000000000 × 3000 = 243000000000000000.
Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.
Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!
Сделав подобный же расчет не для мака, а для какого-нибудь другого растения, приносящего меньше семян, мы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в 5 лет, а в немного больший срок. Возьмем хотя бы одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок*. Если бы все они прорастали, мы имели бы:
в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений
* (В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семянок.)
Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше.
Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре.
Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.
Это верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю. Полчища саранчи, сплошь покрывающие огромные пространства, могут дать нам некоторое представление о том, что было бы, если бы смерть не препятствовала размножению живых существ. В каких-нибудь два-три десятка лет материки покрылись бы непроходимыми лесами и степями, где кишели бы миллионы животных, борющихся между собой за место. Океан наполнился бы рыбой до того густо, что судоходство стало бы невозможно. А воздух сделался бы едва прозрачным от множества птиц и насекомых. Рассмотрим для примера, как быстро размножается всем известная комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:
- 15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.
- 5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60 x 120 = 7200 мух, из них 3600 самок;
- 25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600 x 120 = 432 000 мух, из них 216000 самок;
- 14 июня - каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25920000 мух, в их числе 12960000 самок;
- 5 июля - 12960000 самок кладут по 120 яиц; в июле - выходит 1555200000 мух, среди них 777600000 самок;
- 25 июля - выходит 93312000000 мух, среди них 46656000000 самок;
- 13 августа - выходит 5598720000000 мух, среди них 2799360000000 самок;
- 1 сентября - выходит 355923200000000 мух.
Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до далекой планеты Уран)...
Рис. 54. Потомство мухи за одно лето можно было бы вытянуть в линию от Земли до Урана
В заключение приведем несколько подлинных случаев необыкновенно быстрого размножения животных, поставленных в благоприятные условия.
В Америке первоначально не было воробьев. Эта столь обычная у нас птица была ввезена в Соединенные Штаты намеренно с той целью, чтобы она уничтожала там вредных насекомых. Воробей, как известно, в изобилии поедает прожорливых гусениц и других насекомых, вредящих садам и огородам. Новая обстановка полюбилась воробьям: в Америке не оказалось хищников, истребляющих этих птиц, и воробей стал быстро размножаться. Количество вредных насекомых начало заметно уменьшаться, но вскоре воробьи гак размножились, что - за недостатком животной пищи - принялись за растительную и стали опустошать посевы*. Пришлось приступить к борьбе с воробьями; борьба эта обошлась американцам так дорого, что на будущее время издан был закон, запрещающий ввоз в Америку каких бы то ни было животных.
* (А на Гавайских островах они полностью вытеснили всех остальных мелких птиц.)
Второй пример. В Австралии не существовало кроликов, когда этот материк открыт был европейцами. Кролик ввезен туда в конце XVIII века, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то размножение этих грызунов пошло необычайно быстрым темпом. Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося страшный вред сельскому хозяйству и превратившись в подлинное бедствие. На борьбу с этим бичом сельского хозяйства брошены были огромные средства, и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой. Приблизительно то же самое повторилось поздней с кроликами в Калифорнии.
Третья поучительная история произошла на острове Ямайке. Здесь водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийский мангуст. Решено было привести на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Мангусты хорошо приспособились к новой родине и быстро заселили весь остров. Не прошло и десяти лет, как они почти уничтожили на нем крыс. Но увы - истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. А размножившись еще более, принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.
65. Бесплатный обед.
Десять молодых людей решили отпраздновать окончание средней школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие - по возрасту, третьи - по успеваемости, четвертые - по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:
- Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.
Все сели как попало. Официант продолжал:
- Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда - обещаю торжественно - я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.
Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами.
Однако, им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало, ни много - 3628800. Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, почти 10000 лет!
Вам, быть может, кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов. Проверьте расчет сами.
Раньше всего надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов - с трех. Назовем их А, Б и В.
Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так.
Рис. 55. Две вещи можно разместить только двумя способами
Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами.
Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко: можем
- поместить В позади пары,
- поместить В впереди пары,
- поместить В между обеими вещами.
Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары, АБ и БА, то всех способов разместить вещи наберется
2 х 3 = 6.
Способы эти показаны на рис. 56.
Рис. 56. Три вещи можно разместить шестью способами
Пойдем дальше - сделаем расчет для 4 вещей.
Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г, а с остальными тремя сделаем все возможные перестановки. Мы знаем уже, что число этих перестановок - 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя: можно
- поместить Г позади тройки;
- поместить Г впереди тройки:
- поместить Г между 1-й и 2-й вещью;
- поместить Г между 2-й и 3-й вещью.
Всего получим, следовательно,
6 x 4 = 24 перестановки;
а так как 6 = 2 x 3, а 2 = 1 x 2, то число всех перестановок можно представить в виде произведения:
1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Рассуждая таким же образом и в случае 5 предметов, узнаем, что для них число перестановок равно
1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.
Для 6 предметов:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 и т. д.
Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок определится, если дать себе труд вычислить произведение
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
Тогда и получится указанное выше число
3628800.
Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек, и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношами. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее.
Пусть сядет за стол - безразлично как - один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собою пустые стулья для девушек, 1 x 2 x 3 x 4 = 24 различными способами. Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10 способами; значит число всех возможных размещений для молодых людей 10X X 24=240.
Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно, 1x2x3x4x5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем число всех возможных размещений:
240 x 120 = 28800.
Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего 79 лет (без малого). Доживи молодые посетители ресторана до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда, если не от самого официанта, то от его наследников.
Умея подсчитывать перестановки, мы можем определить теперь, сколько различных расположений шашек возможно в коробке игры "в 15"*. Другими словами, мы можем подсчитать число всех задач, какие способна предложить нам эта игра. Легко понять, что подсчет сводится к определению числа перестановок из 15 предметов. Мы знаем уже, что для этого нужно перемножить
1 х 2 х 3 х 4 х ... х 14 х 15.
Вычисление дает итог:
1307674365000,
т. е. больше триллиона.
* (При этом свободная клетка должна всегда оставаться в правом нижнем углу.)
Из этого огромного числа задач половина неразрешима. Существует, значит, свыше 600 миллиардов неразрешимых положений в этой игре. Отсюда понятна отчасти та эпидемия увлечения игрой "в 15", которая охватила людей, не подозревавших о существовании такого огромного числа неразрешимых случаев.
Заметим еще, что если бы мыслимо было ежесекундно давать шашкам новое положение, то, чтобы перепробовать все возможные расположения, потребовалось бы, при непрерывной работе круглые сутки, свыше 40000 лет.
Заканчивая нашу беседу о числе перестановок, решим такую задачу из школьной жизни.
В классе 25 учеников. Сколькими способами можно рассадить их по партам?
Путь решения этой задачи - для тех, кто усвоил себе все сказанное раньше, - весьма не сложен: нужно перемножить 25 таких чисел:
1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х ... х 23 х 24 х 25.
Математика указывает способы сокращать многие вычисления, но облегчать выкладки, подобные сейчас приведенной, она не умеет. Не существует никакого иного способа выполнить точно это вычисление, как добросовестно перемножить все эти числа*. Только удачная группировка множителей позволит несколько сократить время вычисления. Результат получается огромный, из 26 цифр - число, величину которого наше воображение не в силах себе представить.
* (Впрочем, приближенно это вычисление может быть выполнено сравнительно несложно, В математике часто встречается необходимость вычислить произведение всех целых чисел от 1 до некоторого числа n. Это произведение обозначают символом n! и называют "n-факториал". Например, выписанное выше произведение коротко обозначается как 25!. В XVIII веке английский математик Стирлинг установил формулу, позволяющую приближенно вычислять факториалы. Эта формула имеет вид
где π = 3,141..., e = 2,718... - некоторые числа, играющие важную роль в разных вопросах математики. Пользуясь таблицами логарифмов, по формуле Стирлинга легко получить:
)
Вот оно:
15511210043330985984000000.
Из всех чисел, какие встречались нам до сих пор, - это, конечно, самое крупное, и ему больше всех прочих принадлежит право называться "числом-великаном". Число мельчайших капель во всех океанах и морях земного шара скромно по сравнению с этим исполинским числом.
66. Перекладывание монет.
В детстве старший брат показал мне, помню, занимательную игру с монетами. Поставив рядом три блюдца, он положил в крайнее блюдце стопку из 5 монет: вниз рублевую, на нее - 50-копеечную монету, выше - 20-копеечную, далее 15-копеечную и на самый верх - 10-копеечную.
- Нужно перенести эти монеты на третье блюдце, соблюдая следующие три правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большей монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, не сложные. А теперь приступай к делу.
Я принялся перекладывать. Положил 10-копеечную монету на третье блюдце, 15-копеечную на среднее и запнулся. Куда положить 20-копеечную? Ведь она крупнее и 10-копеечной и 15-копеечной.
- Ну что же? - выручил меня брат. - Клади 10-копеечную на среднее блюдце, поверх 15-копеечной. Тогда для 20-копеечной освободится третье блюдце.
Я так и сделал. Но дальше - новое затруднение. Куда положить 50-копеечную монету? Впрочем, я скоро догадался; перенес сначала 10-копеечную на первое блюдце, 15-копеечную на третье и затем 10-копеечную тоже на третье. Теперь 50-копеечную монету можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.
- Сколько же ты проделал всех перекладываний? - спросил брат, одобрив мою работу.
- Не считал.
- Давай, сосчитаем. Интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть цели. Если бы стопка состояла не из 5, а только из 2 монет - 15-копеечной и 10-копеечной, то сколько понадобилось бы ходов?
- Три: 10-копеечную на среднее блюдце, 15-копеечную - на третье и затем 10-копеечную на третье блюдце.
- Правильно. Прибавим теперь еще монету - 20-копеечую - и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести стопку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем 20 копеечную монету на свободное третье блюдце - 1 ход. А тогда переносим обе монеты
со среднего блюдца тоже на третье - еще 3 хода. Итого всех ходов 3 + 1 + 3 = 7.
- Для четырех монет число ходов позволь мне сосчитать самому. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце - 7 ходов; потом 50-копеечную на третье блюдце - 1 ход и затем снова три меньшие монеты на третье блюдце - еще 7 ходов. Итого 7 + 1 + 7 = = 15.
- Отлично. А для пяти монет?
- 15 + 1 + 15 = 31, - сразу сообразил я.
- Ну вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7, 15, 31- все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри.
И брат написал табличку:
3 = 2 x 2 - 1 7 = 2 x 2 x 2 - 1 15 = 2 x 2 x 2 x 2 - 1 31 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 1.
- Понимаю: сколько монет перекладывается, столько рая берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой стопки монет. Например, для 7 монет:
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 1 = 128 - 1 = 127.
- Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в стопке число монет нечетное, то первую монету перекладывают на третье блюдце; если четное - то на среднее блюдце.
- Ты сказал: старинная игра. Разве не сам ты ее придумал?
Рис. 57. 'Жрецы обязаны без устали перекладывать кружки'
- Нет, я только применил ее к монетам. Игра очень древнего происхождения и зародилась, говорят, в Индии. Существует интересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе будто бы имеется храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазные палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей, как вспомогательной, и соблюдая правила нашей игры; переносить за один раз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.
- О, значит, мир давно уже должен был погибнуть, если верить этому преданию!
- Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?
- Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.
- Ну и что же?
- А в сутки - около ста тысяч. В десять дней - миллион ходов. Миллионом же ходов можно, я уверен, перенести хоть тысячу кружков.
- Ошибаешься. Чтобы перенести всего 64 кружка, нужно уже круглым счетом 500 миллиардов лет!
- Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек без единицы, а это составляет... Погоди, я сейчас перемножу!
- Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.
И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножил этот результат - 65 536 - сам на себя, а то, что получилось, - снова на себя. Потом не забыл отнять единицу.
У меня получилось такое число:
18446744073709551615*.
* (Читателю уже знакомо это число: оно определяет награду, затребованную изобретателем шахматной игры.)
Брат, значит, был прав...
Вам, вероятно, интересно было бы знать, какими числами в действительности определяется возраст мира. Ученые располагают на этот счет некоторыми, - конечно, лишь приблизительными - данными:
Солнце существует 5000000000000 лет. Земной шар 3000000000 лет. Жизнь на Земле 1000000000 лет. Человек не менее 500000 лет.
67.Пари.
В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:
- Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?
- Объясните сначала, что значит "вероятность", - раздались голоса. - Не всем ясно.
- О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко (рис. 58): вот так - гербом вверх и вот так - гербом вниз.
Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение
Дробь 1/2 и выражает "вероятность" того, что монета упадет гербом вверх.
- С монетой-то просто, - вмешался кто-то. - А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью, например.
Рис. 58. 'Монета может лечь на стол двояко'
- Давайте, рассмотрим, - согласился математик. - У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях (рис. 59). Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем - вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится от деления 1 на 6. Короче сказать, она выражается дробью 1/6.
Рис. 59. Игральная кость
- Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? - спросила одна из отдыхающих. - Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?
- Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.
- А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчины? - спросил один из отдыхающих.
- Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих - женщины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай - первый.
Получаем для вероятности дробь 1/4. Вот ваша задача и решена.
- Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчины?
- Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из 4 перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь 4 Х 2 = 8. А искомая вероятность, очевидно, равна 1/8, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета: в случае двух прохожих мы имели вероятность 1/2 Х 1/2 = 1/4; в случае трех 1/2 Х 1/2 Х 1/2 = 1/8 случае четырех вероятность равна произведению четырех половинок и т. д. Вероятность все уменьшается, как видите.
- Чему же она равна, например, для десятка прохожих?
- То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все подряд окажутся мужчинами? Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это 1/1024, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь о заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет.
- Выгодное пари! - заявил чей-то голос. - Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.
- Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.
- Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.
- А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? - спросил математик.
- Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?
- Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь... Дайте-ка, я прикину на бумажке. Биллионная... Триллионная... Квадрильонная... Ого! Единица с тридцатью нулями!
- Только всего?
- Вам мало 30 нулей? В океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек.
- Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моего рубля?
- Ха-ха!... Все! Все, что у меня есть.
- Все - это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?
- Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.
- И я не рискую. Не велика сумма рубль. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.
- Да поймите же, что вы наверняка проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а рубль ваш можно сказать уже в моем кармане.
- Что вы делаете! - удерживал математика приятель, - Из-за рубля рискуете велосипедом. Безумие!
- Напротив, - ответил математик, - безумие ставить хотя бы один рубль при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить рубль.
- Но один-то шанс все же имеется?
- Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два - четыре.
- Увлекаетесь, молодой человек, - раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор. - Увлекаетесь...
- Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?
- Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере... Впрочем, - сказал старик, прислушиваясь, - сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?
- Причем тут музыка?.. - начал было молодой математик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.
- Так и есть! - донесся его унылый возглас - Проиграно пари! Прощай мой велосипед...
Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон солдат.
68. Числовые великаны вокруг и внутри нас.
Нет надобности приискивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих - надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле - все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел.
Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. Хорошо известно, что зайдет ли речь о числе звезд вселенной, об их расстояниях от нас и между собою, об их размерах, весе, возрасте - во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение "астрономическое число" сделалось крылатым. Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют "маленькими", оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей солнечной системе планеты, которые, ввиду их незначительных размеров, получили у астрономов наименование "малых". Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их "крошечными". Но они представляют собой "крошечные" тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными: на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Возьмем такую "крошечную" планету с диаметром 3 км. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 кв. км, или 28000000 кв. м. На 1 кв. м может поместиться стоя человек 7. Как видите, на 28 миллионах кв. м найдется место для 196 миллионов человек.
Песок, попираемый нами, также вводит нас в мир числовых исполинов. Недаром сложилось издавна выражение: "бесчисленны, как песок морской". Впрочем, древние недооценивали многочисленность песка, считая ее одинаковой с многочисленностью звезд. Встарину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.
Величайший числовой гигант скрывается в том воздухе, которым мы дышим. Каждый кубический сантиметр воздуха, каждый наперсток заключает в себе 27 квинтиллионов (т. е. 27 с 18 нулями) мельчайших частиц, называемых "молекулами".
Невозможно даже представить себе, как велико это число. Если бы на свете было столько людей, для них буквально недостало бы места на нашей планете. В самом деле: поверхность земного шара, считая все его материки и океаны, - равна 500 миллионам кв. км. Раздробив в квадратные метры, получим
500000000000000 кв. м.
Поделим 27 квинтиллионов на это число, и мы получим 54 000. Это означает, что на каждый квадратный метр земной поверхности приходилось бы более 50 тысяч человек!
Рис. 60. Каждое такое 'красное кровяное тельце' имеет форму крошечной круглой подушечки, посредине вдавленной
Было упомянуто раньше, что числовые великаны скрываются и внутри человеческого тела. Покажем это на примере нашей крови. Если каплю ее рассмотреть под микроскопом, то окажется, что в ней плавает огромное множество чрезвычайно мелких телец красного цвета, которые и придают крови ее окраску. Каждое такое "красное кровяное тельце" имеет форму крошечной круглой подушечки, посредине вдавленной (рис. 60). Все они у человека примерно одинаковых размеров и имеют в поперечнике около 0,007 мм, а толщину - 0,002 мм. Зато число их огромно. В крошечной капельке крови, объемом 1 куб. мм, их заключается 5 миллионов. Сколько же их всего в нашем теле? В теле человека примерно в 14 раз меньше литров крови, чем килограммов в его весе. Если вы весите 40 кг, то крови в вашем теле около 3 литров, или 3000000 куб. мм. Так как каждый куб. мм заключает 5 миллионов красных телец, то общее число их в вашей крови:
5000000 х 3000000 = 15000000000000.
15 триллионов кровяных телец! Какую длину займет эта армия кружочков, если выложить ее в ряд один к другому? Нетрудно рассчитать, что длина такого ряда была бы 105 000 км. Более чем на сто тысяч километров растянулась бы нить из красных телец вашей крови. Ею можно было бы обмотать земной шар по экватору;
100000 : 40000 = 2,5 раза,
а нитью из кровяных шариков взрослого человека - три раза.
Объясним, какое значение для нашего организма имеет такое измельчение кровяных телец. Назначение этих телец - разносить кислород по всему телу. Они захватывают кислород, когда кровь проходит через легкие, и вновь выделяют его, когда кровяной поток заносит их в ткани нашего тела, в его самые удаленные от легких уголки. Сильное измельчение этих телец способствует выполнению ими этого назначения, потому что чем они мельче, при огромной численности, тем больше их поверхность, а кровяное тельце может поглощать и выделять кислород только со своей поверхности. Расчет показывает, что общая поверхность их во много раз превосходит поверхность человеческого тела и равна 1200 кв. м. Такую площадь имеет большой огород в 40 м длины и 30 м ширины. Теперь вы понимаете, до какой степени важно для жизни организма то, что кровяные тельца сильно раздроблены и так многочисленны: они могут захватывать и выделять кислород на поверхности, которая в тысячу раз больше поверхности нашего тела.
Рис. 61. Сколько съедает человек в течение жизни
Числовым великаном по справедливости следует назвать и тот внушительный итог, который получился бы, если бы вы подсчитали, сколько всякого рода пищи поглощает человек за 70 лет средней жизни. Целый железнодорожный поезд понадобился бы для перевозки тех тоня воды, хлеба, мяса, дичи, рыбы, картофеля и других овощей, тысяч яиц, тысяч литров молока и т. д., которые человек успевает поглотить в течение своей жизни. Рис. 61 дает наглядное представление об этом неожиданно большом итоге, более чем в тысячу раз превышающем по весу человеческое тело. При виде его не веришь, что человек может справиться с таким исполином, буквально проглатывая - правда, не разом - груз длинного товарного поезда.
|
ПОИСК:
|
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'