Решения головоломок 31-42

31. После того как мать взяла половину, осталась 1/2; после заимствования старшего брата осталась 1/4; после отца 1/8, после сестры 1/8 X 3/5 = 3/40. Если 30 см составляют 3/40 первоначальной длины, то вся длина равна 30:3/40 = 400 см, или 4 м.

32. Достаточно трех носков, так как два из них всегда будут одинакового цвета. Не так просто обстоит дело с перчатками, которые отличаются друг от друга не только цветом, но еще и тем, что половина перчаток правые, а половина - левые. Здесь достаточно будет 21 перчатки. Если же доставать меньшее количество, например 20, то может случиться, что все 20 будут на одну и ту же руку (10 коричневых левых и 10 черных левых).

33. Позже всего выпадет, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, т. е. возраст которого - 1 день.

Посмотрим же, через сколько времени дойдет до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150000 волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца - 6 тысяч, в течение первого года - 12 раз по 3 тысячи, т. е. 36 тысяч. Пройдет, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черед выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: 4 с небольшим года.

34. Многие, не подумав, отвечают: 100 руб. Это неверно: ведь тогда основная заработная плата будет больше сверхурочных только на 70 руб., а не на 100.

Задачу нужно решать так. Мы зияем, что если к сверхурочным прибавить 100 руб., то получим основную заработную плату. Поэтому если к 130 руб. прибавим 100 руб., то у нас должны составиться две основные заработные платы. Но 130 + 100 = 230. Значит, двойная основная зарплата составляет 230 руб. Отсюда одна заработная плата без сверхурочных равна 115 руб., сверхурочные же составят остальное от 130 руб., т. е. 15 руб.

Проверим: заработная плата, 115 руб., больше сверхурочных, т. е. 15 руб., на 100 руб., - как и требует условие задачи.

35. Эта задача любопытна в двух отношениях: во-первых, она легко может внушить мысль, что искомая скорость есть средняя между 10 км и 15 км в час, т. е. равна 121/2 км в час. Нетрудно убедиться, что такая догадка неправильна. Действительно, если длина пробега а километров, то при 15-километровой скорости лыжник будет в пути a/15 часов, при 10-километровой a/10, при 12 1/2-километровой a/12 1/2 или 2a/25. Но тогда должно существовать равенство

2а/25 - а/15 = а/10 - 2а/25

потому что каждая из этих разностей равна одному часу. Сократив на а, имеем

2/25 - 1/15 = 1/10 - 2/25

или иначе

4/25 = 1/15 + 1/10;

равенство получилось неверное:

1/15 +1/10 = 1/6, т. е. 4/24, а не 4/25.

Вторая особенность задачи та, что она может быть решена не только без помощи уравнений, но даже просто устным расчетом.

Рассуждаем так: если бы при 15-километровой скорости лыжник находился в пути на два часа дольше (т. е. столько же, сколько при 10-километровой), то он прошел бы путь на 30 км больший, чем прошел в действительности.

В один час, мы знаем, он проходит на 5 км больше; зна-чит, он находился бы в пути 30 : 5 = 6 час. Отсюда определяется продолжительность пробега при 15-километровой скорости: 6 - 2 = 4 часа. Вместе с тем становится известным и проходимое расстояние: 15 x 4 = 60 км.

Теперь легко уже найти, с какой скоростью должен лыжник идти, чтобы прибыть на место ровно в полдень, - иначе говоря, чтобы употребить на пробег 5 час:

60 : 5 = 12 км в час.

Легко убедиться испытанием, что этот ответ правилен.

36. Задачу можно решить, не обращаясь к уравнению, и притом различными способами.

Вот первый прием. Молодой рабочий проходит в 5 мин. 1/4 пути, старый - 1/6 пути, т. е. меньше, чем молодой, на

1/4 - 1/6 = 1/12

Так как старый опередил молодого на 1/6 пути, то молодой настигнет его через

1/6 : 1/12 = 2

пятиминутных промежутка, иначе говоря, через 10 мин.

Другой прием проще. На прохождение всего пути старый рабочий тратит на 10 мин. больше молодого. Выйди старик на 10 мин. раньше молодого, оба пришли бы на завод в одно время. Если старик вышел только на 5 мин. раньше, то молодой должен нагнать его как раз посередине пути, т. е. спустя 10 мин. (весь путь молодой рабочий проходит в 20 мин.).

Возможны еще и другие арифметические решения.

37. Нешаблонный путь решения задачи таков. Прежде всего поставим вопрос: как должны машинистки поделить между собою работу, чтобы закончить ее одновременно? (Очевидно, что только при таком условии, т. е. при отсутствии простоя, работа будет выполнена в кратчайший срок.) Так как более опытная машинистка пишет в 1 1/2 раза быстрее менее опытной, то ясно, что доля первой должна быть в 1 1/2 раза больше доли второй - тогда обе кончат писать одновременно. Отсюда следует, что первая должна взяться переписывать 3/5 доклада, вторая - 2/5.

Собственно задача уже почти решена. Остается только найти, во сколько времени первая машинистка выполнит свои 3/5 работы. Всю работу она может сделать, мы знаем, в 2 часа; значит, 3/5 работы будет выполнено в 2 х 3/5 = 1 1/5 часа. В такое же время должна сделать свою долю работы и вторая машинистка.

Итак, кратчайший срок, в какой может быть переписан доклад обеими машинистками, - 1 час 12 мин.

Можно предложить и другое решение. За 6 часов первая машинистка могла бы трижды перепечатать доклад, а вторая за этот же срок перепечатает доклад дважды. Значит вместе они за 6 часов могли бы 5 раз перепечатать доклад (т. е. смогли бы за 6 часов перепечатать в пять раз большее количество страниц, чем имеется в докладе). Но тогда для перепечатки доклада им надо в пять раз меньше времени, чем 6 часов, т. е. им нужно 6 час : 5 = 1 час. 12 мин.

38. Если вы думаете, что шестеренка обернется три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота.

Чтобы наглядно уяснить себе, в чем тут дело, положите перед собою на гладком листке бумаги две одинаковые монеты, например две 20-копеечные, так, как показано на рис. 29. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по ее ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдет нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете. А обходя неподвижную монету кругом, монета наша успеет обернуться не один, а два раза.

Рис. 29. Обходя неподвижную монету, другая монета успеет обернуться не один, а два раза

Вообще когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. По той же причине и наш земной шар, обходя вокруг солнца, успевает обернуться вокруг своей оси не 365 с четвертью, а 366 с четвертью раз, если считать обороты не по отношению к солнцу, а по отношению к звездам. Вы понимаете теперь, почему звездные сутки короче солнечных.

39. Арифметическое решение довольно запутанное, но задача решается просто, если обратиться к услугам алгебры и составить уравнение. Искомое число лет обозначим буквою х. Возраст спустя три года надо тогда обозначить через х + 3, а возраст три года назад через х - 3. Имеем уравнение

3(х + 3) - 3(х - 3) = х,

решив которое, получаем х = 18. Любителю головоломок теперь 18 лет.

Проверим: через три года ему будет 21 год, три года назад ему было 15 лет. Разность

3×21 - 3×15 = 63 - 45 = 18,

т. е. равна нынешнему возрасту любителя головоломок.

40. Как и предыдущая, задача разрешается с помощью несложного уравнения. Если сыну теперь х лет, то отцу 2х. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: отцу 2х-18, сыну х-18. При этом известно, что отец был тогда втрое старше сына

3(х - 18) = 2х - 18.

Решив это уравнение, получаем x = 36: сыну теперь 36 лет, отцу 72.

41. Пусть вначале в первой мензурке было х г соляной кислоты, во второй х г воды. После первого переливания в первой мензурке стало (х -20) г кислоты, а во второй всего кислоты и воды (х+20) г. После второго переливания во второй мензурке останется 1/3 (x+20) г жидкости, а в первой станет

x - 20 + 2/3(x + 20) = (5x - 20)/3.

Так как известно, что в первой мензурке оказалось жидкости вчетверо меньше, чем во второй, то

4/3(x  + 20) = (5x - 20)/3,

откуда x = 100, т. е. в каждой мензурке было по 100 г.

42. Обозначим первоначальное число отдельных рублей через х, а число 20-копеечных монет через у. Тогда, отправляясь за покупками, я имел в кошельке денег

(100x + 20y) коп.

Возвратившись, я имел

(100у + 20х) коп.

Последняя сумма, мы знаем, втрое меньше первой; следовательно,

3(100y + 20x) = 100x + 20у.

Упрощая это выражение, получаем

х = 7у.

Если у = 1, то х = 7. При таком допущении у меня первоначально было денег 7 р. 20 к.; это не вяжется с условием задачи ("около 15 рублей").

Испытаем у = 2; тогда х = 14. Первоначальная сумма равнялась 14 р. 40 к., что хорошо согласуется с условием задачи.

Допущение у = 3 дает слишком большую сумму денег: 21 р. 60 к.

Следовательно, единственный подходящий ответ - 14 р. 40 к. После покупок осталось 2 отдельных рубля и 14 монет 20-копеечных, т. е. 200+280=480 коп.; это действительно составляет треть первоначальной суммы (1440:3=480).

Израсходовано же было 1440 - 480 = 960. Значит, стоимость покупок 9 р. 60 к.