Странная задача на премию. Проф. Г. Симона

Странная задача на премию

Ряд лет тому назад в Берлине подвизался искусный счетчик, предлагавший публике такую задачу (переделываем ее на русский лад):

"Кто сможет уплатить 5 рублей, 3 рубля, или 2 рубля полтинниками, двугривенными и пятаками, всего 20-ю монетами, - тому будет выдано наличными деньгами сто рублей".

Посетителям вручались необходимые монеты, - конечно, заимообразно. На обещанная сотня рублей должна была остаться навсегда в руках счастливца, которому удалось бы решить задачу.

Разумеется, пол-Берлина потело над разрешением этой задачи (стояли как раз жаркие июльские дни), казавшейся не особенно трудной. Сто рублей хорошо пригодились бы всем, значит-стоит потрудиться. По мере того, как выяснялась бесполезность попыток, физиономии решавших вытягивались, и розовые мечты о заманчивой награде испарялись. Надежды оказывались обманчивыми. Ловкий счетчик мог безбоязненно обещать в десять раз большую награду. Никто не в праве был бы на нее притязать, ибо задача требует невозможного.

Как в этом убедиться?

Нам не понадобится глубоко забираться в дебри алгебры, но все же не будем бояться х, у и z.

Рассмотрим сначала, можно ли уплатить требуемым образом пять рублей. Пусть для этого нужно х полтинников, у - двугривенных и z - пятаков. Сумма их должна составить 500 копеек, т. е.

50x+ 20y + 5z = 500,

или, разделив на 5,

10x + 4y + z =100.

Это легко осуществить на разные лады. Если, например, взять x = 8, то будем иметь

80+ 4y + z = 100.

или

4y + z = 20;

последнему уравнению можно удовлетворить, если принять z = 4, или 8 или 12 или 16, и, следовательно (при z = 4) 4у = 16, у = 4. Действительно, 8 полтинников, 4 двугривенных и 4 пятака составляют 500. Однако, при этом не выполнено условие употребить в общей сложности 20 монет: мы употребили 8 + 4 + 4 = 16 монет. К нашему первому уравнению

10x + 4y + z = 100

необходимо, следовательно, присоединить второе

x + y + z = 20.

Соединяя их в одно, посредством вычитания второго из первого, мы освобождаемся от z и получаем

9x + 3y= 80;

теперь сразу становится очевидным, что не может быть таких целых чисел, которые удовлетворили бы этому уравнению. Потому что 9 раз х, каково бы ни было х, есть непременно число кратное 3; то же верно для числа 3у; следовательно, сумма 9x+3y должна делиться без остатка на 3, то есть никак не может равняться 80.

Задача приводит к противоречивому требованию, и значит - ее решение невозможно.

Совершенно так же невозможно и составление требуемым образом сумм в 3 рубля и в 2 рубля. В первом случае, как каждый легко может убедиться, получается уравнение:

9x + 3у = 40;

во втором:

9x + 3y = 20.

Оба равенства невозможны, так как ни 40, ни 20 не делятся без остатка на 3.

Сказанным задача собственно исчерпывается. Но поучительно присоединить к ней рассмотрение вопроса, какие, же суммы можно этими 20-ю монетами в самом деле уплатить, - разумеется так, чтобы получилось целое число рублей.

Если обозначим это число рублей через т, то у нас будет уравнение

50x + 20y + 5z = 100m,

или

10x + 4y + z = 20m,

при условии, что

х + y + z = 20,

откуда путем вычитания имеем:

9x + 3y = 20m - 20 = 20 (m - 1).

Так как 9х + 3у кратно 3, то и 20 (m - 1) должно быть кратно 3.

Но 20 не делится на 3, так что кратным 3 должно быть только m - 7.

Если m - 1 равно 0, 3, 6, 9, 12 и т. д., то т должно быть на 1-цу больше, т. е. одно из чисел: 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. Только такие суммы рублей могут быть уплачены нашими 20-ю монетами. Но очевидно, что 10 рублей - наибольшая сумма, так как 20 полтинников составляют уже 10 рублей. Принимая поэтому только четыре возможных суммы - в 1 р., в 4 р., в 7 р. и в 10 р., имеем четыре случая:

9x + 3y - 20 (m - 1) = 0, или 60, или 120 или 180,

другими словами

3х + у = 0, или 20, или 40, или 60.

Только эти случаи и надо рассмотреть.

1) Один рубль. 3x + y = 0.

Это равенство возможно лишь тогда, когда и х и у равны нулю, так как, приняв для них даже наименьшее целое число 1, получим 4, а не 0. Единственное решение для этого случая, следовательно, есть, х = 0, у = 0, а потому z = 20, то есть один рубль можно уплатить только употребив 20 пятаков.

Рассмотрим теперь другой крайний случай:

2) Десять рублей. 3x + y = 60. Так как у должно быть кратно 3 (иначе сумма его с 3x не делилась бы без остатка на 3), то примем у = 0, 3, 6... Для случая у = 0 имеем x = 20 и z = 0. Это дает нам уже упомянутое решение: 20 пятаков. Но оно и единственное, потому что для у = 3 имеем х = 19, и х + у превышает высшую сумму 20.

3) Четыре рубля. 3х + у = 20

Принимая

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...,

получаем, что

y = 20 = 3x = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2 (-1, -4....).

Имеют смысл, очевидно, только первые семь значений. Им соответствуют

z = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Четыре рубля можно, как видим, уплатить 7-ью различными способами, например: 6 полтинниками, 2 двугривенными и 12 пятаками.

4) Семь рублей. 3х + у = 40.

Здесь не приходится рассматривать значения для х от 0 до 9, так как при этом для у получаются числа от 40 до 13, и х + у составляет по меньшей мере 22, что нарушает требованию. Остается рассмотреть поэтому лишь случаи:

x = 10, 11, 12, 13,

при чем

 y = 40 - 3x = 10, 7, 4, 1 
 z = 0, 2, 4, 6. 

Остальные случаи исключаются, так как ближайшее у уже отрицательное.

Странная задача на премию

Этим вопрос исчерпывается полностью. Кто хотя немного имел дело с уравнениями, тот заметил, вероятно, что здесь не приходится оперировать так механически, как обычно. Это от того, что мы имеем в нашем случае больше неизвестных, нежели уравнений, а именно-3 неизвестных при 2 уравнениях. Неизвестное z мы устранили и получили одно уравнение с двумя неизвестными х и у. Поэтому задача становится неопределенной; можно лишь установить взаимную обусловленность чисел х и у, так что для любого х можно найти соответствующее значение y. В сущности, имеется бесконечное множество пар решений задач такого рода. Но число их ограничивается требованием, вытекающим из сущности задачи, - а именно: либо чтобы искомые числа были целые (как в нашей задаче, где речь идет о монетах), либо чтобы они не были отрицательные (наш случай), либо, чтобы их сумма не превышала определенного числа (у нас - 20-ти), и т. п.

Итак, возвращаясь к первоначальной задаче, скажем: счетчик мог безопасно посулить сколь угодно большую награду - задача неразрешима. Для вас тем самым открывается легкая возможность предлагать своим друзьям крепкие головоломки. Можете обещать им величайшую награду - не попадетесь: как истые математики, вы можете быть твердо уверены в себе. А кто пожелал бы узнать подробнее об уравнениях в роде рассмотренных выше, - пусть спросит своего учителя математики о Диофанте Александрийском.

Примечание редактора. Диофант Александрийский

Упомянутый в конце очерка александрийский математик Диофант жил в III веке нашей эры. Им написана была "Арифметика", от которой до нас дошла только первая половина сочинения. В этом труде рассматриваются, между прочим, неопределенные уравнения, которые Диофантом и были впервые введены в математику; поэтому имя его осталось навсегда связанным с этими уравнениями.

О жизни Диофанта известно лишь то, что сообщается в надписи, сохранившейся на его могильном памятнике, - надписи, которая составлена в форме следующей задачи:

 Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа 
                                   поведать 
 Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. 
 Часть шестую его составляло прекрасное детство; 
 Двенадцатая часть протекла еще жизни, - покрылся 
 Пухом тогда подбородок; седьмую в бездетном 
 Браке провел Диофант. Еще пять прошло лет 
 Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца- 
                                       сына, 
 Коему рок половину лишь жизни прекрасной и 
                                     светлой 
 Дал на земле по сравненью с отцом. И печали 
                                   глубокой 
 Старец земного удела конец восприял, переживши 
 Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, 
 Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял 
                                    Диофант? 

Составив уравнение:

-x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x,

узнаем из его решения (х = 84), что Диофант умер 84 лет, женился 21 года, стал отцом на 38 году и потерял сына на 80-м году.