04.06.2019
Механика таблицы умножения
Изучив небольшой набор мнемонических правил есть шанс без проблем запомнить таблицу умножения.
Корень зла
В общем и целом, я считаю вредным заучивание чего-либо в математике. Сама по себе математика — это практически как игра. Некий детектив, как и все другие науки. Однако её выгодно отличает от них всех то, что в этот детектив может поиграть вообще каждый человек, поскольку для этого не нужно ни какого-то специального оборудования, ни какого-то специального пространства. В прошлом для этого было достаточно палочки и песка под ногами, сейчас был бы весьма полезен простой бытовой компьютер (хотя всё ещё можно обойтись палочкой и песком), но даже он — уже слишком распространённая во всех слоях общества штука, чтобы считать её «специальной».
Для занятия математикой не нужна лаборатория, не нужны выезды в отдалённые точки планеты и даже требуемые физические действия сводятся к весьма небольшим перемещениям кистей рук. То есть это, в некотором смысле, идеальная игра.
К сожалению, эту игру в системе образования сильно портят нивелированием игрового элемента, вместо которого в процесс привносится много монотонности в виде запоминания каких-то формул и таблиц, бессмысленного и трудоёмкого оформления процесса решения — не так, чтобы он был максимально понятен читателю, а чтобы он следовал некоему вымученному протоколу, которым кроме школы нигде больше не пользуются.
В результате, вместо игры, ученики получают невнятную рутину, и только лишь редкая птица сумеет сквозь неё продраться, сохранив интерес к сути процесса.
Оная же суть состоит вовсе не в том, чтобы как можно больше считать, а в поиске способов, минимизации количества требуемых действий. Не в том, чтобы запоминать большие объёмы данных, а в поиске способов запоминать как можно меньше. Не в как можно более длинных «формальных рассуждениях», а в поиске кратчайшего и простейшего маршрута от постановки задачи к ответу. Причём, желательно, нагляднейшего, а не специально усложнённого.
Однако не каждая модификация «традиционного процесса» оказывается движением в нужную сторону — недавно мне довелось посмотреть на несколько альтернативных способов записи таблицы умножения, которые авторы прочат на замену текущему, и, надо отметить, с ними даже хуже. Запоминать таблицу ничуть не проще, закономерности ничуть не лучше просматриваются, и всё это, разве что, можно рассмотреть только как особого рода самостоятельную головоломку. Возможно, в этом кто-то разглядит элемент игры, однако его наиболее пытливые умы умудряются найти и в заучивании «традиционной» таблицы, поэтому утешение тут весьма слабое.
Вместе с тем, замену явно надо отыскать. Как минимум, отказаться от тупого заучивания, как максимум, найти удачную мнемонику, которая показывает закономерности и радикально ускоряет запоминание.
Сам я, надо отметить, в своё время учил традиционную таблицу, потратив на это пару месяцев школьных каникул. Математику я любил с самого детства, но вот этот процесс мне совершенно не понравился, а, напротив, вызывал раздражение.
Научило ли меня это чему-то? Увы, разве что, тому, что вовсе не всё, о чём кто-то говорит «надо», действительно надо. Во всяком случае, классу так к четвёртому я знал математику гораздо лучше, чем те учителя младших классов, которые настаивали на необходимости заучивания таблицы, хотя заучивать что-либо мне ровно так же не нравилось, как и раньше. Да и заученной таблицей я почти не пользовался, предпочитая ей вскоре появившиеся калькуляторы.
Тем не менее, вопрос мнемоник для таблицы умножения кажется мне интересным. Да и запоминание мнемоник всё-таки сильно завязано на понимание алгоритмов, что гораздо интереснее тупого заучивания стоклеточной таблицы: ведь построение и разбор алгоритмов по сути гораздо ближе к математике, чем заучивание, а по восприятию оное гораздо ближе к детективу.
В общем, в этой статье я попытаюсь построить пробную версию этих мнемоник.
Причём, подчеркну, я даже не уверен, что их будет запоминать проще, однако совершенно уверен, что даже запоминать — не говоря уже про разбор того, как каждая из них выводится — именно их гораздо интереснее.
И, что немаловажно, их гораздо тяжелее забыть.
И, вдобавок, если вы забыли какую-то ячейку таблицы, однако помните мнемонику, вы очень быстро сумеете восстановить забытое.
Кроме того, при использовании мнемоник (ну, если вам правда часто доводится перемножать числа без калькулятора) таблица умножения будет запоминаться как бы сама собой — просто потому, что вы постоянно в практических задачах встречаете соответствующие результаты. Но теперь это уже не магия в стиле «просто запомните, поскольку понять это невозможно», а следствие хорошо осознаваемых закономерностей. Что, опять же, гораздо ближе к математике и годным детективным играм.
Натуральные числа
Далее везде речь идёт исключительно о натуральных числах — тех самых, из которых состоит таблица умножения, поэтому специально это оговариваться не будет.
Некоторые мнемоники относятся только к натуральным числам, а с иными могут не работать. Это надо помнить.
Двузначные числа
Из всей таблицы умножения только результат
10 х 10 = 100
содержит три знака. Все остальные результаты содержат меньшее их число.
В частности, некоторые результаты содержат один знак, однако для простоты рассуждений имеет смысл считать их все — двузначными. Для тех же, что записываются одним знаком, подразумевать, что первым знаком к ним приписан невидимый ноль.
1 = 01
2 = 02
и так далее.
То есть для числа «2» первая цифра — «0», а вторая — «2», точно так же, как для числа «35» первая цифра — «3», а вторая — «5».
Во всех дальнейших рассуждениях и мнемониках будет подразумеваться такая модификация без упоминания её в явном виде.
10
Умножение на десять реализуется приписыванием нуля справа от числа.
И, хотя умножение на 1 ещё легче, остальные мнемоники проще отслеживаются, если сразу же убрать 10 из таблицы умножения, оставив в ней только числа с одним знаком.
Именно про них дальше и пойдёт речь, а мнемонику умножения на 10 просто запомните, как отдельный случай.
Скороговорка чётных чисел
Числа 2, 4, 6, 8 — являются чётными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными.
Ряд чётных чисел нужно заучить, как скороговорку, и потому я его, для краткости, дальше буду называть «скороговоркой».
Если прочитать числа из скороговорки в обратном порядке, то получится инвертированная скороговорка: 8, 6, 4, 2.
Скороговорку легко восстановить в уме, если вы вообще помните последовательность цифр: это — каждое второе число, начиная с двойки.
Левые и правые числа
Число 5 будет называться «серединой», поскольку оно делит натуральные числа от 1 до 9 на две группы по четыре штуки.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Четыре числа слева от 5 — 1, 2, 3, 4 — будут называться «левыми». Четыре числа справа от 5 — 6, 7, 8, 9 — будут называться «правыми».
Левые числа совпадают со своими порядковыми номерами в четвёрке. Из правых чисел надо вычесть середину — 5, — чтобы получить их порядковый номер в своей четвёрке.
Лучший множитель
В каждой паре множителей нам надо выбрать лучший из них. Именно мнемоникой умножения на лучший множитель мы и будем пользоваться. Оставшийся множитель будет называться «вторым множителем».
Чтобы найти лучший множитель, надо запомнить алгоритм, определяющий приоритет выбора числа. Это довольно легко.
Сами числа идут в таком порядке:
1, 5, 9, 2, 8, 4, 6, 3, 7
Можно попытаться заучить порядок, но более оптимально понять алгоритм построения этого порядка.
Поначалу кажется, будто тут какой-то хаос в расположении чисел, однако порядок довольно закономерен. Сначала мы выбираем самое первое число — 1.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Потом убираем центр — пятёрку.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Теперь начинаем «отрезать края» у ряда.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Мы дошли до того момента, когда доотрезались до 3 и 7 по бокам. Теперь вырежем числа рядом с серединой.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ну и, наконец, пойдут последние два числа — 3 и 7.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Всё, мы перебрали все числа.
Для каждого шага построения этой последовательности, числа, выбывшие на предыдущих этапах (серые), мы так и будем называть «выбывшими числами».
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ___________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Результат умножения на 1 — само число.
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ___________________________________ 05 10 15 20 25 30 35 40 45
Если число — чётное, делим его пополам. Если нечётное — берём предыдущее число (оно будет чётным) и делим его пополам. Это — первая цифра.
Справа приписываем к первой цифре 0 для чётного числа и 5 для нечётного.
Число 8. Чётное. Делим пополам — 4. Приписываем справа 0. Ответ: 40.
Число 7. Нечётное. Берём предыдущее — 6 — и делим пополам, получаем 3. Приписываем справа 5. Ответ: 35.
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 _____________________________ 09 18 27 36 45 54 63 72 81
Вычитаем из второго множителя 1. Это — первая цифра ответа.
Теперь вычтем из десяти второй множитель. Получится вторая цифра ответа.
Число 7. Вычитаем 1, получаем 6 — первую цифру. Вычитаем 7 из 10, получаем 3 — вторую цифру. Ответ: 63.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ___________________________ 02 04 06 08 10 12 14 16 18
Припишем к левым и правым числам скороговорку.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
2 4 6 8 2 4 6 8 |
Теперь под каждым числом написана вторая цифра результата.
Можно запомнить эту таблицу, но проще её мысленно построить — она очень простая.
Но даже если её не помнить, можно мысленно найти номер второго множителя в левой или правой четвёрке, а потом мысленно же досчитать до этого номера в скороговорке.
Первая же цифра результата для левых вторых множителей — 0, для правых — 1.
Число 6. Правое. Первая цифра — 1. Оно первое в четвёрке правых, поэтому берём первое число из скороговорки — 2. Ответ: 12.
Число 4. Левое. Первая цифра — 0. Четвёртый номер в четвёрке. В скороговорке четвёртое число — 8. Ответ: 8.
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 _______________________________________ 08 16 24 32 40 48 56 64 72
Припишем к левым и правым числам инвертированную скороговорку.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
8 6 4 2 8 6 4 2 |
Теперь под каждым числом написана вторая цифра.
По сути, тут тоже, как и для 2, можно мысленно брать число из скороговорки по его порядковому номеру в четвёрке левых или правых чисел число. Только скороговорка тут будет инвертированной.
Далее пронумеруем ячейки, начиная с 2 (это легко запомнить: единица уже выбыла) и пропустив середину.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1 2 3 4 5 6 |
Теперь в них написана первая цифра.
Число 7. Второе в четвёрке правых. Берём из инвертированной скороговорки второе число — 6. Среди ещё не исключённых чисел число 7 будет пятым. Первая цифра — 5. Ответ: 56.
Число 8. Третье в четвёрке. Из инвертированной скороговорки берём третье число — 4. Среди не исключённых оно — шестое. Ответ: 64.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ________________________________________ 04 08 12 16 20 24 28 32 36
На данный момент остались всего четыре числа.
Их вторые цифры тоже из скороговорки, но порядок этих чисел изменён.
Модифицированная скороговорка для четырёх: 2, 6, 4, 8.
Как её запомнить?
При помощи распределения чисел исходной скороговорки равномерно по не исключённым ещё левым и правым числам.
Первое число даём левым, второе — правым, третье — снова левым, четвёртое — снова правым. Можно несколько раз прокрутить этот процесс в голове, как мультик. И называть саму скороговорку — «распределённой».
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
2 6 4 8
|
Сейчас под каждым числом написана вторая цифра.
Первая цифра: 1 для левого второго множителя, и 2 — для правого.
Число 7. Четвёртое из оставшейся четвёрки. Берём из «распределённой» скороговорки четвёртое число — 8. Число 7 — правое. Вторая цифра — 2. Ответ: 28.
Число 4. Второе из четырёх. Берём из распределённой скороговорки второе число — 6. Это — первая цифра. Левое. Первая цифра — 1. Ответ: 16.
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 __________________________ 06 12 18 24 30 36 42 48 54
Здесь мы имеем инвертированную скороговорку, которую тоже надо считать как распределённую.
8, 4, 6, 2
В данном случае четвёрка уже выбыла, но для простоты можно мысленно выдавать ей своё число из скороговорки — тоже четвёрку. А можно построить распределённую скороговорку для четырёх и прочитать её задом наперёд.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
8 4 6 2
|
Тут под числами написана вторая цифра.
Чтобы получить первую, снова всё пронумеруем, начиная с невыбывшей тройки.
Четвёрка тут, аналогично, хотя и выбыла, но для простоты остаётся в нумерации — так проще запомнить картинку.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1 2 3 4
|
Теперь у нас есть первая цифра.
Число 6. Второе из оставшихся. Берём второе число из сокращённой инвертированной скороговорки — 6. Это вторая цифра. Среди оставшихся чисел (плюс уже исключённая четвёрка) шестёрка идёт третьей. Ответ: 36.
Число 3. Первое среди оставшихся. Из инвертированной распределённой скороговорки берём 8. Из нумерации ещё не исключённых (плюс четвёрка) берём первое число — 1. Ответ: 18.
3 и 7
1 2 4 5 6 7 8 9 ____________________________ 03 06 09 12 15 18 21 24 27
1 2 3 4 5 6 8 9 ____________________________ 07 14 21 28 35 42 49 56 63
Теперь просто запомните:
3 х 3 = 9
3 х 7 = 21
7 х 7 = 49
Первые два результата, впрочем, довольно легко вычислить в уме при помощи двух сложений каждый, а потому необходимым для прочного запоминания является только третий.
Первая цифра результата для 6 и 8
Как можно было видеть, наиболее сложные мнемоники — именно для этих чисел. Однако есть способ, который, возможно, для кого-то окажется более простым при запоминании, поскольку в нём задействован зрительный образ.
Давайте взглянем ещё раз на таблицы для первой цифры.
8:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1 2 3 4 5 6 |
6:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1 2 3 4
|
В обеих таблицах просматривается следующая закономерность: число во второй строке меньше соответствующего числа в первой на количество пустых клеток во второй строке, левее этого числа.
Если вы визуально помните сам вид этих таблиц (то есть не числа во второй строке, а пустая или не пустая ячейка в этом месте) или же понимаете принцип построения этих таблиц, вы можете мысленно посчитать пустые ячейки и вычесть их из второго множителя. Это даст первую цифру.
Обобщение мнемоник
Может показаться, что тут слишком много правил. Однако, на самом деле, эти правила весьма регулярны.
Для выбора наилучшего множителя, как уже говорилось, можно запомнить процесс «урезания краёв» с пропуском «особых чисел» — 3 и 7. При этом, для простоты, центр — то есть, число 5 — можно сразу помнить, как вырезанное.
Отрезаемые числа, таким образом, распадаются на пары.
1 — 9
2 — 8
4 — 6
3 — 7
Обратите, кстати, внимание, сумма чисел в каждой паре всегда 10.
Отрезаем мы всегда сначала с левого края.
Далее. Для нечётных чисел действуют независимые друг от друга мнемоники.
1: сам множитель.
9: вычесть 1 из множителя, это будет первая цифра. Вычесть из 10 множитель — вторая цифра.
3 и 7: надо запомнить три произведения — 3х3, 3х7, 7х7.
Остаются чётные числа. Для них будет использоваться скороговорка и подсчёт исключённых чисел.
При этом проще считать, что чётные числа исключаются парами: сначала 2 и 8, потом 4 и 6. То есть, когда мы имеем дело с восьмёркой, двойка как бы всё ещё не исключена. И аналогично для шестёрки всё ещё не исключена четвёрка.
Право слово, по таблицам всё это очевидно сразу — это словами тяжело данную закономерность описывать.
Для случаев 2 и 8, мы вписываем скороговорку в левые и в правые числа.
Для случаев 4 и 6, мы вписываем скороговорку в оставшиеся ячейки. Причём для четырёх пишем саму скороговорку, а для шести — её распределённый вариант.
Если само число — левое, мы читаем скороговорку слева направо. Если правое — справа налево.
Это, в результате, даст нам вторую цифру.
Чтобы определить первую цифру, для 6 и 8 мы нумеруем не исключённые ещё числа (для простоты считая, что чётные числа исключаются парами).
Для 2 и 4 просто запоминаем закономерность.
2: если второй множитель — левое число, то 0, если правое, то 1.
4: если второй множитель — левое число, то 1, если правое, то 2.
В качестве бонуса ещё можно визуально запомнить таблицы первых цифр для 6 и 8.
Целесообразность и ценность
Несмотря на наличие закономерностей, нельзя сказать, что приведённая тут цепочка мнемоник является простой и запоминается за минуту.
Однако, как я уже говорил, чтобы запомнить таблицу умножения, лично я когда-то потратил месяц. И не факт, что сразу после этого был уверен в каждом из произведений.
Причём, что особенно печально, у меня не было возможностей проверить, правильно ли я помню, что там было в таблице: ведь это всё не укладывалось ни в какой алгоритм, а просто зазубривалось.
Вдобавок, запомненное забывается, если этим не пользоваться.
Но вот в мнемониках, наоборот, даются как раз алгоритмы (за исключением тех трёх произведений, которые надо запомнить). Причём эти алгоритмы имеют много зацепок — таблицы, которые можно визуально запомнить и легко выстроить даже в голове, правила подсчёта пустых ячеек, скороговорку из чётных чисел, принцип выбора между ней, её инверсией и их распределёнными вариантами.
Сам я запомнил все эти мнемоники в тот момент, когда их записывал. Это не совсем чистый эксперимент, поскольку изрядная часть всего процесса была придумана в процессе написания статьи (да-да, я нигде не видел такого набора мнемоник), и, с одной стороны, я усилил запоминание процессом вычисления этих алгоритмов, но, с другой стороны, усложнил его тем, что к окончательным вариантам примешивались промежуточные попытки найти максимально простые способы запоминания.
Но как бы то ни было, я вряд ли бы потратил на их уверенное запоминание — вместе со всеми дополнительными подсказками — больше одного дня. При этом, даже если какая-то часть забудется, я, скорее всего, смогу довольно быстро её восстановить.
Это весьма нехило по сравнению с месяцем, да ещё и без последующих зацепок к восстановлению забытого.
Но что ещё важнее, и вычислять, и даже запоминать все эти мнемонические правила было гораздо интереснее, чем зазубривать таблицу умножения. Второе раздражало и утомляло, первое — развлекало. Оставило за собой целый набор каких-то прикольных образов, что-то типа вау-эффекта и в целом весьма положительные эмоции.
Ну и да, как говорилось в самом начале, построение и разбор подобного рода алгоритмов неизмеримо ближе к математике, чем заучивание справочника.
Источники:
|
ПОИСК:
|
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'