05.09.2019

Российские математики нашли границы языков Арнольда

Российские математики Алексей Глуцюк и Игорь Нетай смогли описать комплексные границы языков Арнольда при моделировании физических процессов в джозефсоновских контактах. Полученные результаты помогут в моделировании элементов квантовых компьютеров.

Алексей Глуцюк из НИУ ВШЭ и Игорь Нетай из НПК «Криптонит»^* обратились к математическому описанию эффекта Джозефсона, активно используемого в сверхвысокочувствительных магнитометрах и кубитах квантовых компьютеров. Им, впервые в истории изучения вопроса, удалось описать комплексные границы языков Арнольда при моделировании физических процессов в джозефсоновских контактах. Кроме того, математики смогли наложить ограничения на род алгебраических кривых, критически важных для вычисления явных решений уравнений Гойна — наиболее перспективного на сегодня математического инструмента для анализа поведения джозефсоновских контактов.

^* (Научно-производственная компания (НПК) «Криптонит» — это совместный проект с госкорпорацией «Ростех» на базе концерна «Автоматика». На базе НПК формируется уникальный научно-исследовательский центр (R&D), объединяющий несколько лабораторий. В числе приоритетных направлений — технологии и решения в области хранения, обработки и управления большими данными, квантовые вычисления и криптография, машинное обучение и нейросети, информационная безопасность. Входит в экосистему «ИКС Холдинга». «ИКС Холдинг» — российская многопрофильная ИТ-структура, в основные задачи которой входят инвестиции, управление и консолидация на рынке телеком, медиа и технологий.)

Соответствующая статья принята к публикации в Journal of Dynamical and Control Systems, а с её препринтом можно ознакомиться на сайте Корнельского университета.

Джозефсоновскими называют контакты вида сверхпроводник-изолятор-сверхпроводник (часто сокращается как SIS). Толщина слоя диэлектрика в них подобрана так, чтобы сопротивление в нем пропадало, как только примыкающие к нему сверхпроводящие материалы охладятся до своей рабочей температуры. Физическая причина эффекта — «просачивание» способных к туннелированию электронов сквозь диэлектрик.

Протекающий через джозефсоновские контакты ток чрезвычайно чувствителен к малейшим изменениям внешнего магнитного поля. Это свойство используется в конструкции СКВИДов — сверхпроводящих квантовых интерферометров (Superconducting Quantum Interference Device, SQUID), лежащих в основе конструкции многих экспериментальных квантовых компьютеров.

В 2015 году первые кубиты на джозефсоновских контактах были построены и в России (МФТИ и Российским квантовым центром). Учитывая, какой эффект квантовые компьютеры с устойчиво работающими кубитами могут оказать на криптографию, научные вычисления и искусственный интеллект, исследования свойств джозефсоновских контактов имеет большое практическое значение.

Математическое описание работы джозефсоновских контактов началось ещё до экспериментального обнаружения их существования. В 1962 году английский физик Брайан Джозефсон вывел дифференциальное уравнение, описывающее поведение подобного контакта (впоследствии названного в его честь). В его математической модели параметры контакта описываются двупараметрическим семейством обыкновенных дифференциальных уравнений на двумерном торе («растянутой» двумерной поверхности трёхмерного «бублика»).

Однако у такой модели джозефсоновских контактов есть ряд ограничений: исходные джозефсоновские уравнения не имеют явных решений, по крайней мере таких, которые можно было бы записать в элементарном виде — с помощью элементарных функций (а насколько известно на сегодня — и с помощью спецфункций тоже). Это означает, что с его помощью сложно описать и предсказать целый ряд свойств, которые наблюдаются у этих контактов на практике. Соответственно, не имея таких явных решений, труднее и строить на основе подобных контактов квантовые компьютеры с предсказуемым поведением составляющих их когерентных кубитов.

В новой статье авторы использовали ранее установленный в работах других математиков факт, что поведение джозефсоновских контактов и описывающее его уравнение Джозефсона можно свести к трёхпараметрическому дважды конфлюэнтному уравнению Гойна. Ранее уже было показано, что для определённых значений исходных параметров в уравнениях Гойна конструируются явные решения, которые для базового уравнения Джозефсона отсутствуют. Но раз его можно свести к уравнению Гойна, то эти решения можно использовать и для исходного уравнения Джозефсона.

«При таком подходе, как и в других попытках математического поведения джозефсоновских контактов, исследуется динамическая система на торе,— объяснил Игорь Нетай — у которой есть три параметра: A, B и ω. Последний в новой работе принимался за постоянную».

После замены координат уравнение Гойна как раз и задаёт эту динамическую систему на торе. При этом физически интерпретируемой величиной остаётся число вращения динамической системы. При малых значениях ω (физически ей обычно соответствует джозефсоновская частота генерации, то есть интенсивность излучения фотонов джозефсоновским контактом, через который идёт ток выше критического), можно перейти от базовой «гладкой» функции, описывающей поведение контакта без дискретизации, к функции, которая выглядит почти как кусочно-ступенчатая, с дискретизацией результата (числа вращения динамической системы). За счёт этого можно дискретизировать сигнал с джозефсоновского контакта, что очень важно с практической точки зрения: дискретный сигнал легко измерить, а значит и понять стоящие за ним физические процессы.

Ранее в других работах было установлено существование так называемых языков Арнольда — геометрических областей фазового захвата, в которых число вращения динамической системы на торе, описывающей параметры джозефсоновских контактов, неизменно. Следует понимать, что область фазового захвата относится к пространству параметров математического описания джозефсоновских контактов. Тем не менее, описание это имеет прямое отношение к поведению самих контактов.

Дело в том, что внутри каждого языка Арнольда, несмотря на изменения значений A и B, часть физических параметров поведения джозефсоновских контактов неизменна. А вот в пространстве между языками Арнольда эти физические параметры резко, скачкообразно изменяются. Как комментируют ситуацию сами авторы работы, было бы интересно знать границы этих областей фазового захвата.

Границы эти геометрически устроены довольно сложно. Как отмечает Игорь Нетай: «Если комплексифицировать [рассмотреть уравнение с комплексными коэффициентами] используемое для описания уравнение Гойна, то оказывается, что такие границы — это объединение всего четырёх аналитических комплексных многообразий».

Новая работа — первая, в которой удалось это выяснить, и в теории это заметно упрощает математическое представление границ языков Арнольда, что является довольно значимым результатом.

Другой важный итог работы — исследование семейств явных решений (полиномиальных решений) уравнения Гойна. Множество точек, которыми параметризуются решения уравнений Гойна — это алгебраические кривые (множество нулей многочлена от двух переменных). Авторы с помощью вычислений ограничили род алгебраических кривых, параметризующих явные решения уравнения Гойна. Как известно, родом алгебраической кривой называют род её римановой поверхности, и его выявление также существенно упрощает математическое описание физического поведения джозефсоновских контактов с помощью уравнений Гойна.

Источники:

1. 22century.ru