13.08.2012

Построены первые симметричные простые диаграммы Венна для одиннадцати кривых

Двое математиков из канадского Университета Виктории нашли способ построения симметричных простых диаграмм Венна для одиннадцати кривых.

Диаграмма такого типа отражает все возможные пересечения нескольких множеств, которые и представляются замкнутыми кривыми на плоскости. Считается, что участок пространства, ограниченный кривой, содержит все элементы какого-либо множества, а внешняя область — элементы, не входящие в него. Если в простейшем случае двух замкнутых кривых одна из них, к примеру, будет отвечать за множество «напитки», а другая — за «минеральные воды», диаграмма Венна покажет не только очевидное пересечение «минеральные воды — напитки», но и область «минеральные воды, которые не являются напитками». Когда мы подразумеваем именно питьевые воды, такой участок будет фактически пустым, но на схеме Венна, в отличие от родственной ей диаграммы Эйлера, он всё равно должен сохраниться как теоретически допустимый.

Диаграммы Венна можно классифицировать и выделить их простые и симметричные разновидности. У простых диаграмм, поясним, в каждой точке пересечения кривых встречаются только две из них, а симметричные образцы отличаются тем, что они сохраняют изначальный вид (с точностью до перенумерации кривых) после поворота плоскости на ^2π/_n радиан, где n — общее число кривых.

Внимание специалистов к симметричным диаграммам привлекла работа американца Дэвида Хендерсона, показавшего, что схемы этого типа реализуемы только для простых n. Хотя случаи n=2 и n=3 тривиальны и способ создания простой симметричной диаграммы с таким числом кривых (окружностей) очевиден, при увеличении n до пяти у математиков уже возникли известные трудности: первый корректный пример построения, в котором роль замкнутых кривых сыграли эллипсы, был найден лишь в 1975-м. Переход к n=7 занял ещё около двадцати лет.

Чтобы отыскать простые и симметричные варианты для n=11, авторам пришлось определять новые структурные элементы диаграмм (скажем, отрезки кривых, последовательно пересекающие все прочие кривые без повторений). Ориентируясь на симметрии, связанные с этими элементами, учёные сузили поле перебора — и обнаружили множество подходящих диаграмм Венна. Первый простой симметричный образец с 11 кривыми, найденный в марте 2012-го, показан выше.

Сейчас канадцы занимаются поиском аналогичных диаграмм с n=13. Результатов эта работа пока не принесла.

Дмитрий Сафин

Источники:

1. КОМПЬЮЛЕНТА