18.09.2012

Математики приблизились к решению слабой проблемы Гольдбаха

Американский математик Теренс Тао (Terence Tao) сделал важный шаг на пути к решению слабой проблемы Гольдбаха, сформулированной в XVIII веке.

Гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, превосходящее единицу, можно представить в виде суммы не более чем трёх простых. Слабой её называют по той причине, что её истинность следует из справедливости аналогичного, но более «сильного» утверждения, согласно которому любое чётное число представимо как сумма не более чем двух простых. Действительно, если каждое чётное число, начиная с четырёх, есть сумма двух простых, то добавлением тройки к нему можно получить все нечётные числа, начиная с семи.

Первые серьёзные работы, посвящённые проблеме Гольдбаха, были опубликованы в ХХ веке. К примеру, в 1937 году известному советскому математику Ивану Виноградову удалось показать, что слабая гипотеза справедлива для всех «достаточно больших» нечётных чисел. Позже в литературе начали появляться оценки того, какими должны быть эти «действительно большие» числа: в 1989-м нижняя граница была установлена на уровне е⁹⁹⁰¹², а десять лет назад её сместили уже к е³¹⁰⁰.

Некоторые математики попытались, так сказать, зайти с другого конца и в 2003 году проверили выполнение слабой гипотезы для чисел, не превосходящих е²⁸. Сейчас эту границу можно передвинуть чуть выше, но между ней и величиной е³¹⁰⁰ в любом случае сохранится более чем значительный пробел, с заполнением которого современные компьютеры просто не справятся.

Используя данные этих исследований, а также некоторые результаты проверки (недоказанной) гипотезы Римана, г-н Тао сформулировал обоснование того, что любое нечётное число, превосходящее единицу, можно представить в виде суммы не более чем пяти простых. Такое обоснование, разумеется, далеко не эквивалентно решению слабой проблемы Гольдбаха, но специалистов радует сам факт движения вперёд: ранее аналогичное утверждение было доказано только в предположении об истинности гипотезы Римана. «Устаревшими» теперь можно признать и выкладки француза Оливье Ремера (Olivier Ramare), 17 лет назад показавшего, что любое чётное число можно выразить в виде суммы не более чем шести простых.

Полное доказательство, предложенное Теренсом Тао, даётся в препринте, выложенном на сайт arXiv, а сокращённое описание методики, которую нашёл американский математик, приведено в его блоге.

Дмитрий Сафин

Источники:

1. КОМПЬЮЛЕНТА