12.12.2011

Математики преодолели барьер Копперсмита-Винограда

Вирджиния Уильямс из Стэнфордского университета предложила алгоритм умножения квадратных матриц с самой лучшей на данный момент асимптотикой сложности (pdf). Прежний рекордсмен, алгоритм Копперсмита-Винограда, был предложен в 1987 году, а оценка его сложности получила прозвище одноименного барьера.

Традиционно для анализа сложности используются асимптотические оценки. Фактически, они говорят о том, с какой скоростью растет количество вычислительных операций при росте параметров алгоритма (в данном случае параметр один - размер квадратной матрицы n). Алгоритм умножения "по определению", то есть по строкам и столбцам, имеет сложность O(n³) то есть его сложность растет примерно как константа, помноженная на степенную функцию с показателем 3.

В 80-х годах прошлого века Дон Копперсмит и Шнуэль Виноград предложили алгоритм вычисления умножения матриц со сложностью O(n^2,39). Затем они заметили, что разбиение матрицы перед умножением на подматрицы и применение алгоритма к ним позволяет довести сложность до рекордных O(n^2,376). Этот результат был получен разбиением n на два. Дальнейшие разбиения, однако (на три, четыре и так далее) не принесли улучшения.

В рамках новой работы Уильямс удалось усовершенствовать оригинальную оценку Копперсмита и Винограда. В результате ей удалось показать, что при разбиении n на 8 частей, асимптотика сложности оказывается равной O(n^2,3727). Несмотря на то, что улучшение получено только в третьем знаке, по словам специалистов, работа представляет интерес, поскольку барьер Копперсмита-Винограда продержался 24 года. Многие ученые полагают, что существует алгоритм с асимптотической оценкой O(n²), то есть сложность растет как количество элементов в квадратной матрице.

В работе подчеркивается, что данный алгоритм не найдет применения в существующих вычислительных системах по той же причине, по которой не используется алгоритм Копперсмита-Винограда - уменьшение сложности приводит к увеличению необходимой для работы памяти. При этом памяти современных компьютеров не хватит для применения таких алгоритмов в реальных задачах. Вместо них часто применяется алгоритм Штрассена.

Источники:

1. Lenta.Ru