ЕМКОСТЬ

ЕМКОСТЬ множества — функция множества, возникшая в потенциала теории как аналог физич. понятия электростатич. емкости.

Пусть S и S* — две гладкие замкнутые гиперповерхности в евклидовом пространстве Rⁿ, n≥3, причем S* охватывает S. Такую систему наз. конденсатором (S, S*). Пусть u(х) — гармонич. функция в области D между S и S*, принимающая значения 1 на S и 0 на S*. Емкостью конденсатора C(S, S*) наз. число

(1)

где σ_n=2π^n/2/Γ(n/2) — площадь единичной сферы в Rⁿ, ∂u/∂n — производная по направлению внешней нормали к любой промежуточной гиперповерхности S', лежащей между S и S* и охватывающей S, dσ - элемент площади S', dω — элемент объема. Иначе Е. конденсатора С (S, S*) можно определить как нижнюю грань интегралов

в классе всех непрерывно дифференцируемых в D функций υ(x), к-рые на S и S* принимают значения, соответственно, 1 и 0. Если гиперповерхность S* = S(0, R) есть сфера достаточно большого радиуса R с центром в начале координат, то, переходя в (1) к пределу при R→∞, получают емкость компакта K ограниченного гиперповерхностью S, называемую также гармонической емкостью К, или ньютоновой емкостью К:

при этом 0≤С(K)<∞. Е. С (К) есть аналог электростатич. Е. уединенного проводника К.

В случае плоскости R² конденсатор (L, L*) есть система двух гладких замкнутых непересекающихся простых кривых L и L*, причем L* охватывает L. Пусть u(х) — гармонич. функция в области D между L и L*, принимающая значения 1 на L и 0 на L*. Емкостью конденсатора С(L, L*) наз. Число где

где ds — элемент длины дуги линии L', лежащей между L и L* и охватывающей L. Пусть кривая L* = S(0, R) есть окружность достаточно большого радиуса R с центром в начале, тогда предельный переход при R→∞ в формуле

дает винеровскую емкость, или постоянную Робена, компакта К, ограниченного линией L; винеровская Е. может принимать любые значения, -∞<W(K)<∞. Чаще используется логарифмическая емкость, называемая также гармонической или конформной:

(2)

к-рая изменяется в пределах 0≤С(K)<∞.

Е. компакта К, ограниченного гиперповерхностью S, при n≥З можно определить и несколько иначе. Пусть υ_K(x) - емкостный, или равновесный, потенциал этого компакта, т. е. гармоническая всюду вне К, регулярная на бесконечности функция, принимающая на S значение 1. Тогда

(3)

где D' — внешность S. Формула (3) показывает, что Е. С (К) есть совокупная положительная мера μ(S), распределенная на S и такая, что ньютонов потенциал простого слоя, порождаемый этой мерой, в точности совпадает с емкостным потенциалом υ_K(x), т. е.

Мера μ наз. емкостной, или равновесной, мерой.

В классе всех положительных борелевских мер λ на К таких, что λ(K)=μ(S)=C(K), емкостная мера μ дает минимум интегралу энергии

(4)

Иначе говоря, Е. С (К) можно определить формулой C(K)= 1/inf Е (λ), где нижняя грань берется в классе всех положительных мер λ, сосредоточенных на К и нормированных условием λ(К)= 1.

При n = 2, вследствие особого поведения логарифмич. потенциала на бесконечности, вышеуказанное построение емкостного потенциала возможно только для конденсатора, напр. для (L, S(0, R)) при помощи Грина функции G(x, у) для внутренности D" окружности S(0, R) в виде

(5)

где емкостный потенциал u_K(х; S(0, R)) совпадает в D с ранее введенной для конденсатора (L, S(0, R)) гармонич. функцией u(х). Е., определяемая по формулам (5), иногда наз. гриновой емкостью; эта конструкция возможна при любом n≥2. Формула W(K)= 1/inf E(λ), λ(K)=1, при n=2 дает винеровскую Е. компакта К, так как интеграл энергии

(6)

теперь не всегда положителен.

Емкость произвольного компакта K⊂Rⁿ, n≥3, можно определить при помощи описанного свойства минимума энергии:

где интегралы Е(λ) вычисляются по формуле (4). При n=2 такой путь приводит к определению винеровской емкости произвольного компакта:

где энергия Е(λ) вычисляется по формуле (6). Переход к логарифмич. Е. осуществляется по формуле С(К)= e^-W(K).

Равносильный способ состоит в построении емкостного потенциала υ_K (х) для произвольного компакта К. При n≥3 его можно определить как наибольший из потенциалов U_λ(х) положительных мер λ, сосредоточенных на К и таких, что U_λ(x)≤1. Порождающая υ_K(х) мера μ является емкостной, μ(K)=C(K). При n=2 построение емкостного потенциала, как и выше, ведется для конденсатора (К, S(0, R)) при помощи функции Грина для круга D". Е. компакта С (К) получается далее предельным переходом, как в формуле (2).

Если υ_K(x)=0, то С(К)=0. При n=2 равенства С(К)=0 и W(K)=+∞ равносильны. Компакты нулевой Е. играют в теории потенциала ту же роль, что и множества меры нуль в теории интегрирования. Напр., равенство υ_K(x)=1 на К имеет место всюду, за возможным исключением множества точек, принадлежащего нек-рому компакту нулевой Е. Потенциал любой положительной меры, сосредоточенной на компакте К нулевой Е., неограничен. Более того, для любого компакта К нулевой Е. существует сосредоточенная на К положительная мера ν такая, что U_ν(x)=+∞ при х∈К и U_ν(x)<+∞ при х∉К, т.е. любой компакт нулевой Е. является полярным множеством.

Свойства емкостных потенциалов и емкостей компактов: 1) отображения K→υ_K(x) и К→С(К) возрастающие, т. е. из включения К₁⊂K₂ вытекает, что всюду υ_K1(x)≤υ_K2(х), С(К₁)≤C(K₂); 2) эти отображения непрерывны справа, т. е. для любого фиксированного x∈Rⁿ и любого ε>0 существует открытое множество ω такое, что если компакт К' подчинен условиям K⊂K'⊂ω, то всюду υ_K'(x)—υ_K(x)<ε, С(К')-С(К)<ε; 3) υ_K(х) и С(К), как функции K, сильно субаддитивны, т.е.

Если G — открытое множество, лежащее в шаре В=В(О, R), то, по определению, Е. C(G) = C(B)—C(\G). Для произвольного множества Е внутренняя Е. С(Е) определяется как верхняя грань С(Е) = sup С(К) по всем компактам К⊂Е. Внешняя Е. ((Е) определяется как нижняя грань (Е)=infC (G) по всем открытым множествам G⊃E. Множество Е наз. С-измеримым, если (Е)=С(Е)= С(Е). Все борелевские и даже аналитич. множества в Rⁿ являются С-измеримыми. Таким образом, Е. С(Е) представляет собой функцию множества, инвариантную относительно движений, но не являющуюся, однако, аддитивной. Особенно важна характеристика множества Е, даваемая условием, что его Е. С(Е) равна нулю. Во многих вопросах теории потенциала множествами нулевой Е. в определенном смысле можно пренебрегать. Так, напр., справедливо следующее усиление принципа максимума. Пусть ω(x) — ограниченная сверху субгармонич. функция в области G⊂Rⁿ, n≥З, ∞∉G; пусть неравенство имеет место для всех точек y∈∂G, за возможным исключением множества Е, С(Е)=0, ∞∉E. Тогда всюду в G имеем ω(x)≤M, причем знак равенства хотя бы в одной точке возможен только в случае ω(x)=M.

Понятие Е. обобщается в различных направлениях. Исходя из понятия емкостного потенциала и емкостной меры или энергии, теорию Е. строят для неньютоновых потенциалов таких, как бесселевы, потенциалы, нелинейные потенциалы, Рисса потенциалы и др. Эти построения позволяют, в частности, варьировать понятие множества нулевой Е. применительно к различным проблемам математич. физики и анализа (см. [6]).

По Г. Шоке (G. Choquet), Е. компактов К в абстрактном отделимом топологич. пространстве X определяется аксиоматически как числовая функция множества К→С(К), удовлетворяющая аксиомам возрастания, непрерывности справа и сильной субаддитивности. Несколько иной подход к теории Е. в абстрактных пространствах X получается в рамках общей аксиоматики потенциала теории абстрактной или теории гармонических пространств. В абстрактной теории Е. основной является теорема Шоке, утверждающая, что С-измеримыми являются К - аналитические множества, т. е. непрерывные образы множеств типа К_σδ из нек-рого компактного пространства.

Вообще, в различных задачах теории функций, связанных главным образом с аппроксимацией в определенных классах функций, весьма полезным оказалось введение своих специфич. понятий Е. Так, напр., большое значение в вопросах приближения аналитич. функциями имеет понятие аналитической емкости. Пусть К — компакт на комплексной плоскости z, f(z)— аналитич. функция вне К, |f(z)|≤1, f(∞)=0; аналитической Е. γ(К) наз. число

где L' — контур, охватывающий К, и верхняя грань берется по всем f(z), удовлетворяющим выписанным условиям.

Лит.: [1] Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [3] Полиа Г., Сёге Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, [пер. с англ.], М., 1962; [4] Вrеlоt М., Lectures on potential theory, Bombay, 1960; [5] Деллашери К., Емкости и случайные процессы, пер. с франц., М., 1975; [6] Карлесон Л., Избранные проблемы теории исключительных множеств, пер. с англ., М., 1971; [7] Витушкин А. Г., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 5—12.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.