ЕДИНСТВЕННОСТИ СВОЙСТВА

ЕДИНСТВЕННОСТИ СВОЙСТВА аналитических функций — свойства аналитич. функций, состоящие в том, что они вполне определяются своими значениями на нек-рых подмножествах точек их области определения или границы этой области, в связи с чем различают внутренние Е. с. и граничные Е. с.

Внутренние свойства единственности. Пусть D — некоторая область плоскости С = С¹ комплексного переменного z. Классическая внутренняя теорема единственности для голоморфных, т. е. однозначных аналитич., функций в D утверждает: если голоморфные в D функции f(z) и g(z) совпадают на нек-ром множестве E⊂D, имеющем хотя бы одну предельную точку в D, то f(z)≡g(z) всюду в D. Иначе говоря, если голоморфная в D функция f(z) принимает нулевые значения на множестве E⊂D, имеющем хотя бы одну предельную точку в D, то f(z)≡0. Доказательство этого внутреннего Е. с. аналитич. функций показывает, что оно, в сущности, является Е. с. степенных рядов по одному комплексному переменному z. Е. с. полностью сохраняется и для мероморфных в D функций f(z) и g(z), если рассматривать полюсы f(z) и g(z) как точки, в к-рых функции принимают значение ∞.

В частности, если две аналитич. функции f(z) и g(z) совпадают на сколь угодно малой окрестности нек-рой точки или на сколь угодно малой дуге нек-рой непрерывной кривой, то f(z)≡g(z). Другое следствие: множество A-точек аналитич. функции f(z), т. е. таких точек z, в к-рых f(z) = A, не может иметь предельных точек внутри области определения D, если только f(z)А.

Полные аналитические функции F(z), G(z) в смысле Вейерштрасса, вообще говоря, многозначные, обладают следующим внутренним Е. с.: пусть f(z) и g(z) — однозначные элементы, или ветви полных аналитич. функций F(z) и G(z), определенные соответственно в областях D₁ и D₂, D₁∩D₂≠∅. Тогда, если f(z) и g(z) совпадают на нек-ром множестве точек E⊂D₁∩D₂,имеющем хотя бы одну предельную точку z₀∈D₁∩D₂, то функции F(z) и G(z) имеют одну и ту же область существования и всюду совпадают как полные аналитич. функции.

На случай аналитич. функций f(z) многих комплексных переменных z=(z₁, z₂, ..., z_n), n>1, E. с. в приведенных формулировках не переносится. Напр., аналитич. функция f(z)=z₁z₂ не равна тождественно нулю, но обращается в нуль на комплексно (n—1)-мерных аналитич. плоскостях z₁ = 0 и z₂ = 0. Для таких функций имеют место следующие Е. е.:

1) Если f(z) — аналитич. функция в области D комплексного пространства Сⁿ, обращающаяся в нуль во всех точках нек-рого непустого открытого подмножества U⊂D, то f(z)≡0 в D.

2) Если f(z) — аналитич. функция в области D⊂Cⁿ, обращающаяся в нуль в нек-рой точке z⁰∈D вместе со всеми частными производными δ^kf/δz₁^k₁δz₂^k₂ ... δz_n^k_n, k=k₁+k₂+...+k_n;k_j = 0, 1, 2, ... ; j=1, 2, ..., n, то f(z)≡0 в D.

3) Если f(z) — аналитич. функция в области D⊂Cⁿ, обращающаяся в нуль в действительной окрестности U_δ точки z⁰ = x⁰+iy⁰ ∈ D т.е. на множестве U_δ={z=x + iy∈Сⁿ; |х—х⁰|<r, у=у⁰}, то f(z)≡0 в D.

Различие во внутренних Е. с. для случаев n=1 и n>1 обусловлено различием в поведении кратных степенных рядов по сравнению со степенными рядами по одному переменному.

Граничные свойства единственности. Сформулированная выше внутренняя теорема единственности аналитич. функций f(z) одного комплексного переменного допускает ряд обобщепий на тот случай, когда нули f(z) лежат не внутри области аналитичности D, а на ее границе Γ. Так, напр., если Γ содержит жорданову дугу σ, причем всюду на σ существуют и равны нулю граничные значения f(z) изнутри области D, то f(z)≡0 в D. Наиболее общие и глубокие граничные теоремы единственности получены Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым в 1925. Пусть D — область плоскости z, ограниченная спрямляемой кривой Γ, и f(z) — мероморфная в D функция. Пусть ζ₀ — точка Γ, в к-рой существует касательная к Γ; таким свойством обладают почти все точки спрямляемой кривой. Говорят, что функция f(z) имеет в точке ζ₀ угловое граничное значение А, если f(z) стремится к А, когда точка z стремится к ζ₀, оставаясь внутри пересечения области D с внутренностью любого угла раствора меньше π с вершиной ζ₀ и нормалью к Γ в ζ₀ в качестве биссектрисы.

Справедлива граничная теорема единственности Лузина—Привалова в случае угловых граничных значений: если мероморфная в области D, ограниченной спрямляемой кривой Γ, функция f(z) принимает угловые граничные значения нуль на множестве E⊂Γ положительной лебеговой мерьт. то f(z)≡0. Вообще говоря, мероморфная функция может и не иметь граничных значений на Γ, но для довольно широких классов мероморфных функций, напр. для функций ограниченного вида, установлено существование угловых граничных значений почти всюду на Γ.

Наряду с этим имеются примеры ограниченных аналитич. функций в единичном круге D, стремящихся к нулю во всех смыслах на заданном множестве Е точек единичной окружности Γ меры нуль. Кроме того, Н. Н. Лузин и И. И. Привалов построили примеры аналитических в единичном круге D функций, имеющих нулевые радиальные граничные значения, т. е. стремящихся к нулю по радиусам, всюду на нек-ром множестве E⊂Γ полной меры 2π. Оказалось, что в вопросах единственности весьма важно также понятие категории множества по Бэру. Именно, справедлива граничная теорема единственности Лузина — Привалова в случае радиальных граничных значений: если мероморфная в единичном круге D функция f(z) имеет радиальные граничные значения нуль на множестве Е, расположенном на дуге σ единичной окружности Γ, метрически плотном и второй категории по Бэру на σ, то f(z)≡0. (Множество Е наз. метрически плотным на σ, если каждая порция E на σ имеет положительную меру.)

См. также Граничные свойства аналитических функций, Предельное множество.

Исследование граничных Е. с. аналитич. функций многих комплексных переменных еще (к 1978) не достигло такой степени полноты, как для функций одного переменного (см. [5], [6]).

Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. i, М., 1967, гл. 3; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1 и сл.; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М,— Л., 1950; [4] Коллингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974; [6] Xенкин Г. М., Чирка Е. М., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 13—142.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.