ЕДИНСТВЕННОСТИ МНОЖЕСТВО

ЕДИНСТВЕННОСТИ МНОЖЕСТВО, U - множество,— множество E⊂[0, 2π] такое, что тригонометрич. ряд, сходящийся к нулю во всякой точке (0, 2π]\E, есть ряд нулей. Множество, не являющееся U-множеством, наз. множеством неединственности, или М-множеством. Эти понятия связаны с проблемой единственности представления функции сходящимся к ней тригонометрия, рядом всюду, за исключением, быть может, заданного множества Е. Г. Кантор (G. Kantor, 1872) показал, что конечное (а также пустое) множество является Е. м., и распространение этого результата на бесконечные множества привело его к созданию множеств теории.

Множества положительной меры Лебега всегда являются М-множествами. Всякое счетное множество есть U-множество. Существуют совершенные множества меры нуль, к-рые являются как М-множествами (Д. Е. Меньшов, 1916), так и U-множествами (Н. К. Бари, 1921); напр., канторово множество с постоянным рациональным отношением θ является U-множеством тогда и только тогда, когда 1/θ есть целое число, т. е. свойство числового множества быть U- или М-множеством зависит от арифметич. природы составляющих его чисел. Существуют, однако, такие множества E⊂[0, 2π] (так наз. U(ε)-множества) полной меры, что каждый тригонометрич, ряд, сходящийся к нулю в каждой точке [0, 2π]\E и имеющий коэффициенты вида O(ε_n), где ε_n↓0, есть ряд нулей.

Понятия U- и М-множества обобщаются и на ряды Фурье — Стилтьеса.

Лит.: [1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [2] 3игмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1—2, пер. с англ, [2 изд.], М., 1965; [3] Бари Н. К., «Успехи матем. наук», 1949, т. 4, в. 3, с. 3—68.

В. Ф. Емельянов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.