ЕДИНИЦА

ЕДИНИЦА — 1) Наименьшее из натуральных чисел:1. При умножении любого числа на 1 получается то же самое число.

2) Элемент е множества М наз. левой (правой) единицей по отношению к бинарной алгебраической операции *, определенной на множестве М, если для любого элемента а ∈ М выполняется равенство

Если существуют хотя бы одна левая Е. и хотя бы одна правая Е., то они совпадают и других Е. нет. Если на множестве М определено несколько бинарных операций (напр., сложение и умножение в кольце), то Е. наз. только Е. по отношению к одной из этих операций, обычно по отношению к умножению. Е. по отношенню к сложению наз. тогда нулем.

3) Единицей решетки (структуры) наз. ее наибольший элемент, т. е. Е. относительно операции объединения.

4) Единицей, или делителем единицы, области целостности К наз. всякий ее обратимый элемент, т. е. такой элемент ε, для к-рого существует обратный ε^-1 и εε^-1=1. Все Е. области целостности образуют группу по умножению. Эта же терминология иногда сохраняется и при переходе к полю частных кольца K (т. е. единицами поля частных наз. Е. самого кольца К). Напр., Е. поля алгебраич. чисел k наз. единицы кольца целых алгебраич. чисел поля k, p-адическими Е. наз. единицы кольца целых р-адических чисел и т. д.

5) Единичный морфизм объекта в категории иногда наз. просто единицей.

О. А. Иванова.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.