ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА

ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА, индикатриса кривизны,- плоская кривая, к-рая дает наглядное представление об искривленности поверхности в данной ее точке. Д. и. лежит в плоскости, касательной к поверхности S в точке Р, и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки Р в направлении l в касательной плоскости и имеющих длину, равную 1/√|K_l|, где |K_l| - абсолютная величина нормальной кривизны поверхности S в точке Р в направлении l. Пусть r = r(u, v) - параметрич. уравнение поверхности S в окрестности точки Р. Введем декар-тову систему координат на плоскости, касательной к S в точке Р, принимая точку Р за начало координат, векторы r_u и r_v за базисные векторы этой координатной системы. Тогда уравнение Д. и. имеет вид

|Lx² + 2Mxy + Ny²| = 1,

где х и у - координаты точки Д. и., a L, М и N -коэффициенты второй квадратичной формы поверхности S, вычисленные в точке Р. Д. и. представляет собой: а) эллипс, если Р - эллиптическая точка (окружность, если Р - округления точка); б) пару сопряженных гипербол, если Р - гиперболическая точка; в) пару параллельных прямых, если Р - параболическая точка. Д. и. названа по имени Ш. Дюпена (Ch. Dupin), впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

Лит.: [1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 2, М.- Л., 1948.

Е. В. Шикин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.