ДЮБУА-РЕЙМОНА ТЕОРЕМА

ДЮБУА-РЕЙМОНА ТЕОРЕМА о единственности разложения функции в ряд: если сумма всюду сходящегося тригонометрич. ряда интегрируема по Риману, то этот ряд является ее рядом Фурье; доказана П. Дюбуа-Реймоном [1]. Важный частный случай сходимости тригонометрич. ряда к нулю несколько ранее рассмотрел Г. Кантор [2].

Д.-Р. т. обобщалась в разлинных направлениях. Для интеграла Лебега с условием ограниченности суммы аналогичную теорему доказал А. Лебег (Н. Lebesgue), без этого условия - Ш. Ж. Балле Пуссен (Ch. J. de la Vallée-Poussin) (см. [3], с. 200, 789). Имеются аналоги этой теоремы для интегралов Данжуа (см. [5]).

Другое направление обобщений заключается в ослаблении условия сходимости всюду. У. Юнг (W. Young) доказал, что можно пренебрегать счетным множеством (см. [3], с. 792), Д. Е. Меньшов показал, что нельзя пренебрегать любым множеством меры нуль (см. Меньшова пример нуль-ряда или [3], с. 804). О дальнейших работах в этом направлении см. [3], [4]. Еще одно направление обобщений получается при замене требования сходимости требованием суммируемости. Впервые этим стал заниматься М. Рисе (М. Riesz, [4]).

Лит.: [1] Du Bois-Reymond P., «Abh. Akad. Wiss. Math.-Phys. Kl.», 1876, Bd 12, Tl 1, S. 117-66; [2] Cantor G., «Math. Ann.», 1872, Bd 5, S. 123-32; [3] Бapи H. K., Тригонометрические ряды, M., 1961; [4] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер. с англ., М., 1965; [5] Виноградова И. А., Скворцов В. А., в сб.: Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65-107.

Т. П. Лукашенко.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.