ДЬЁДОННЕ МОДУЛЬ

ДЬЁДОННЕ МОДУЛЬ - модуль М над кольцом Витта векторов W(k), где k - совершенное поле характеристики р > 0, снабженный двумя эндоморфизмами F_M и V_M, удовлетворяющими следующим соотношениям:

F_M(ωm) = ω^(p) F_M(m),

ωV_M(m) = V_M(ω^(p)m),

F_M(V_M(m)) = V_M(F_M(m)) = pm.

Здесь m ∈ M, ω = (a₀, ..., a_n, ...) ∈ W(k), ω^(p) = (a^p₀, ..., a^p_n, ...). Эквивалентное определение состоит в том, что М есть левый модуль над кольцом D_k (кольцом Дьёдонне), порожденным W(k) и двумя переменными F и V связанными соотношениями

Fω = ω^(p)F, ωV = Vω^(p),

FV = VF = p, ω ∈ W(k).

Для любого целого n > 0 существует изоморфизм D_k/D_kVⁿ ~ End_k(W_nk),

где D_kVⁿ - левый идеал, порожденный Vⁿ, а W_nk -усеченная k-схема Витта. Д. м. играют важную роль в классификации унипотентных коммутативных алгебраических групп (см. [1]). Д. м. наз. также левые модули над пополнением D̂_k кольца D_k относительно топологии, порождаемой степенями двустороннего идеала (F, V) кольца D_k.

Лит.: [1] Dieudonne J., «Аmеr. J. Math.», 1957, v. 79, № 2, p. 331-88; [2] Demazure M., Gabriel P., Groupes algébriques, t. 1, P.-Amst., 1970; [3] Mанин Ю. И., «Успехи матем. наук», 1963, т. 18, в. 6, с. 3-90.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.