ДУГА БЕЗ КОНТАКТА

ДУГА БЕЗ КОНТАКТА - гладкая кривая без самопересечений на фазовой плоскости двумерной автономной системы дифференциальных уравнений

х̇ = Р(х, у), ẏ = Q(x, у), (*)

обладающая тем свойством, что в каждой точке этой кривой вектор фазовой скорости системы (см. Фазовой скорости вектор) определен, отличен от нуля и не является касательным вектором к кривой. Это понятие было введено А. Пуанкаре (Н. Poincaré, [1]); оно широко используется в качественной теории дифференциальных уравнений (см. [2]). Через любую обыкновенную точку произвольной траектории системы (*) можно провести, напр., отрезок без контакта достаточно малой длины. Д. б. к. характеризуется тем, что все траектории системы (*), пересекающие эту кривую, пересекают ее в одном направлении. Если производная в силу системы (*) (см. Дифференцирование в силу системы) в каждой точке гладкой кривой не обращается в нуль, то эта кривая есть Д. б. к. Замкнутая Д. б. к. наз. циклом без контакта.

Лит.: [1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.- Л., 1947; [2] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.

Н. X. Розов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.