ДУБЛЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

ДУБЛЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ - двулистная накрывающая поверхность W конечной римановой поверхности R. Каждой внутренней точке p ∈ R ставится в соответствие пара точек р и р̃ Д. р. п. W; иными словами, над р расположены две сопряженные точки Д. р. п. р и р̃. Каждой точке q края R ставится в соответствие одна точка q ∈ W. При этом над каждой окрестностью внутренней точки p ∈ R расположены две непересекающиеся окрестности точек р, р̃ ∈ W. Если z - локальная униформизирующая в окрестности внутренней тонки p ∈ R, то она же будет локальной униформизирующей в W-окрестности одной из двух сопряженных точек W, лежащих над р, скажем в W-окрестности точки р ∈ W; тогда в W-окрестности сопряженной точки р̃ униформизирующей является комплексно сопряженная z̅ переменной z. Если z - локальная униформизирующая в точке q края R, то униформизирующей в лежащей над ней точке q ∈ W является переменная, равная z на одном листе W и z̅ -на другом.

Для случая компактной ориентируемой римановой поверхности R Д. р. п. W состоит просто из двух компактных ориентируемых римановых поверхностей, и поэтому в этом случае его рассмотрение интереса не представляет. Во всех остальных случаях Д. р. п. W -компактная ориентируемая риманова поверхность, что и позволяет упростить исследование нек-рых вопросов теории функций на R путем сведения их к исследованию функций на W. Род W равен g + m - 1, где g - род R, m - число компонентов края R, предполагаемых невырожденными. Например, дублем односвязной плоской области является сфера, а дублем m-связной плоской области - сфера с m - 1 ручками.

Аналитические дифференциалы на римановой поверхности R среди аналитич. дифференциалов на Д. р. п. W характеризуются тем, что они принимают сопряженные значения в сопряженных точках W и действительных значениях в точках q ∈ W, лежащих над точками края R.

Лит.: [1] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [2] Рiсаrd Е., Traité d'analyse, t. 2, P., 1893.

E. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.