ДУАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

ДУАЛЬНАЯ АЛГЕБРА - топологическая алгебра, в к-рой для любого замкнутого левого (соответственно правого) идеала I левый аннулятор правого (соответственно правый аннулятор левого) аннулятора идеала

I совпадает с I. Наибольший интерес представляют вопросы реализации Д. а. в виде алгебр операторов и установление связей между свойствами аннуляторности и дуальности топологич. алгебр различных классов, частности комплексных банаховых алгебр с инволюцией, в том числе гильбертовых алгебр и C*-алгебр.

С*-алгебра вполне непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве и гильбертова алгебра операторов Гильберта - Шмидта в гильбертовом пространстве - Д. а. Всякая дуальная банахова алгебра, являющаяся С*-алгеброй, изоморфна пополнению алгебраической прямой суммы алгебр вполне непрерывных операторов в нек-рых гильбертовых пространствах. Всякая полная гильбертова алгебра дуальна; она изоморфна прямой ортогональной сумме гильбертовых алгебр операторов Гильберта - Шмидта в нек-рых гильбертовых пространствах. Всякая полупростая Д. а. с непрерывным квазиобратным - пополнение прямой суммы всех своих минимальных замкнутых двусторонних идеалов, к-рые являются топологически простыми Д. а.; топологически простая Д. а. А может быть реализована как алгебра непрерывных линейных операторов в нек-ром топологическом векторном пространстве Е, содержащая множество K(Е) конечномерных непрерывных линейных операторов в Е; если А -банахова алгебра, то образ А при этой реализации содержится в равномерном замыкании F(E) алгебры K(Е). С другой стороны, существует рефлексивное банахово пространство Е такое, что (топологически простая, аннуляторная) банахова алгебра F(E) не является дуальной.

Лит.: [1] Наймарк М. А., Нормированные кольца,

2 изд., М., 1968; [2] Daviе А. М., «Bull. London Math. Soc.», 1973, v. 5, № 1, p. 79-80.

А. И. Штерн.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.