ДРОБЬ

ДРОБЬ арифметическая - число, состоящее из одной или из нескольких равных частей (долей) единицы. Д. изображается символом a/b (или a/b), где а и b - целые числа. Числитель а Д. a/b показывает число взятых долей единицы, разделенной на столько долей, какова величина знаменателя b. Д. можно рассматривать также, как частное от деления a на b.

Д. a/b не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же отличное от нуля целое число. Благодаря этому любые две Д. a/b и c/d можно привести к общему знаменателю, т. е. заменить a/b и c/d на равные им Д., имеющие один и тот же знаменатель. Кроме того, Д. можно сокращать, поделив ее числитель и знаменатель на одно и то же число, вследствие чего, всякую Д. можно представить в виде несократимой, т. е. такой, у к-рой числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Сумма и разность Д. a/b и с/b одинаковыми знаменателями определяются по правилу:

a/b ± с/b = (a ± c)/b.

Чтобы сложить или вычесть Д. с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя дробей a/b и c/d - берется наименьшее общее кратное чисел c и d. Умножение и деление Д. производятся по правилам:

a/b ⋅ c/d = (a ⋅ c)/(b ⋅ d), a/b : c/d = (a : c)/(b : d)

Д. a/b наз. правильной, если ее числитель

меньше знаменателя, и неправильной - в противном случае. Д. наз. десятичной, если ее знаменатель является степенью числа 10 (см. Десятичная дробь).

Формальное определение дробей. Д. могут быть определены как упорядоченные пары целых чисел (а, b), где b ≠ 0, для к-рых задано отношение эквивалентности (отношение равенства Д.), а именно, считается, что (а, b) = (с, d), если ad = bc. Кроме того, во множестве Д. определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, подчиненные следующим правилам:

(a, b) ± (с, d) = (ad ± bc, bd),

(a, b) ⋅ (c, d) = (ac, bd), (a, b) : (с, d) = (ad, bc)

(таким образом, деление определено только в том случае, когда с ≠ 0).

Подобное определение Д. удобно для обобщений и принято в современной алгебре (см. Частных кольцо).

С. А. Степанов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.