ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ - функция вида

w = L(z) = (a₁z₁ + ... + a_nz_n + b)/(c₁z₁ + ... c_nz_n + d),

где z = (z₁, ..., z_n) - комплексные или действительные переменные, а_j, b, с_j, d - комплексные или действительные коэффициенты, |c₁| + ... + |c_n| + |d| > 0. Если |c₁| = ... = |c_n| = 0, то Д.-л. ф. является целой линейной функцией; если ранг матрицы А = ||pic_matrix_02|| равен

единице, то L(z) - постоянная. Собственно Д.-л. ф. получается, если |с₁| + ... + |с_n| > 0 и ранг А равен двум; ниже эти условия предполагаются выполненными.

В случае n = 1 и действительных а₁ = а, с₁ = с, z₁ = z график Д.-л. ф. есть равнобочная гипербола с асимптотами z =-d/c и w = a/c. В случае n = 2 и действительных а₁, а₂, b, c₁, с₂, d, z₁, z₂ график Д.-л. ф. есть гиперболич. параболоид.

В случае n = 1 Д.-л. ф. L(z) есть аналитич. функция комплексного переменного z всюду в расширенной комплексной плоскости ℂ̅, за исключением точки z = -d/c, в к-рой L(z) имеет простой полюс. При n ≥ 1 Д.-л. ф. L(z) есть мероморфная функция в пространстве ℂⁿ комплексных переменных z = (z₁, ..., z_n), имеющая полярным множеством множество

{z ∈ ℂⁿ; c₁z₁ + ... + c_nz_n + d = 0}.

См. также Дробно-линейное отображение.

Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.