ДОСТИЖИМАЯ ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА

ДОСТИЖИМАЯ ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА - совокупность точки границы области и класса эквивалентных путей, ведущих изнутри области в эту точку. Пусть ξ - точка границы ∂G области G на плоскости комплексного переменного z и пусть существует путь с уравнением z = z(t), где функция z(t) определена и непрерывна на нек-ром отрезке [α, β], z(t) ∈ G при α ≤ t < β z(β) = ξ. Тогда говорят, что этот путь ведет в точку ξ (изнутри G) и определяет Д. г. т., изображаемую точкой ξ. Два пути, ведущие в ξ, наз. эквивалентными (или определяющими одну и ту же Д. г. т.), если существует третий путь, также ведущий в ξ изнутри G и имеющий с каждым из рассматриваемых двух путей непустые пересечения внутри G в любой близости от ξ. Совокупность точки ξ ∈ ∂G и класса эквивалентных путей, ведущих в ξ изнутри G, наз. Д. г. т. области G. Не всякая точка ξ ∈ ∂G изображает Д. г. т.; с другой стороны, одна и та же точка ξ ∈ ∂G может изображать несколько, и даже бесконечное множество, различных Д. г. т.

Д. г. т. является единственной точкой граничного элемента 1-го рода; (многоточечный) граничный элемент 2-го рода содержит ровно одну Д. г. т., а граничные элементы 3-го и 4-го родов не содержат Д. г. т. Каждая точка границы жордановой области является Д. г. т.

Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [2] Коллингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971, гл. 9.

Е. П. Долженко.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.