ДОПОЛНЕНИЕ

ДОПОЛНЕНИЕ - операция, к-рая ставит в соответствие подмножеству М данного множества X другое подмножество N ⊂ X так, что если известны М и N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X, получаются различные определения Д. и разные способы восстановления X по М и N.

В общей теории множеств дополнением подмножества (или дополнительным подмножеством) до множества X наз. подмножество С_XМ (или СМ, а также Х\М), состоящее из всех элементов в х ∈ Х, не принадлежащих М; одним из важных его свойств является принцип двойственности:

C_X(∪_ξM_ξ) = ∩_ξ(C_XM_ξ).

Пусть X наделено структурой линейного пространства и L-подпространство X. Подпространство N ⊂ X наз. прямым алгебраическим дополнением (или короче алгебраич. дополнением) подпространства X, если ∀х ∈ Х однозначно представим в виде x = y + z, y ∈ L, z ∈ N. Это эквивалентно условиям: X = L + N; L ∩ N = {0}. Алгебраич. Д. любого подпространства X всегда существует, но определяется неоднозначно.

Пусть (X, τ) - линейное топологич. пространство и X - прямая алгебраич. сумма X = L + N своих подпространств L и N, рассматриваемых как линейное топологич. пространство с индуцированной топологией. Если x = y + z, y ∈ L, z ∈ N, то взаимно однозначное отображение (х, у) → х + у декартова произведения L × N на X, непрерывное в силу линейности топологии τ, вообще, не взаимно непрерывно. Если же это отображение есть гомеоморфизм, т. е. если X является топологич. прямой суммой пространств L и N, то подпространство N наз. прямым топологическим дополнением подпространства L, к-рое наз. в этом случае дополняемым. В произвольном линейном топологич. пространстве не всякое подпространство, даже конечномерное, дополняемо. Имеют место следующие необходимые и достаточные условия дополняемости: существует непрерывный проектор Р пространства X на подпространство L; подпространство L топологически изоморфно X/N, где N - алгебраическое Д. L. Из этих критериев вытекают следующие достаточные условия дополняемости: L замкнуто и имеет конечную коразмерность; X - локально выпукло, L -конечномерно, N - замкнуто и др.

Специальным случаем топологич. Д. является ортогональное Д. подпространства L гильбертова пространства H. Это - множество

L^⋀ = {x ∈ H | 〈x, у〉 = 0, ∀y ∈ L},

являющееся замкнутым подпространством пространства H. Важнейшим для теории гильбертовых пространств является тот факт, что всякое замкнутое подпространство L гильбертова пространства имеет ортогональное Д. и H = L ⊕ L^⋀.

Пусть, наконец, X - условно полная векторная решетка (K-пространство). Дизъюнктным дополнением множества М ⊂Х называется совокупность элементов вида

M^d = {x ∈ X| |x| ∧ |y| = 0, ∀у ∈ M),

являющаяся линейным подпространством X. Если М - линейное подпространство, то в общем случае Х ≠ М + М^d, но если М компонента (по другой терминологии полоса, замкнутый идеал), т. е. линейное подпространство такое, что: из х ∈ М и |y| ≤ |x| следует у ∈ М; М замкнуто относительно операций перехода к точным верхним и нижним границам, то Х = М + М^d (для любого М множество М^d есть компонента; M^dd = (M^d)^d есть наименьшая компонента, содержащая множество М ⊂ Х).

Лит.: [1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965; [2] его же, Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [4] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967; [5] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [6] Вулих Б. З., Введение в теорию, полуупорядоченных пространств, М., 1961.

В. И. Соболев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.