ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ ПРИНЦИП

ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ ПРИНЦИП - принцип, выражающий зависимость между длинами кривых, принадлежащих нек-рому специальному семейству, и площадью, покрываемой этим семейством кривых.

Пусть w = f(z) - регулярная в открытом множестве G функция. Пусть n(w) - число корней уравнения f(z) = w, лежащих в G; l(ρ) - суммарная длина кривых в G, на к-рых |f(z)| = ρ; А -площадь G и

тогда Д. и п. п. выражается неравенством (см. [2]):

Д. и п. п. получил широкое применение в теории функций комплексного переменного (см. [1] - [4]).

Д. и п. п. используется, напр., при изучении свойств функций, регулярных в круге |z| < 1. В частности, с помощью Д. и п. п. доказывается следующая теорема (см. [2]): если функция w = f(z) = a₀ + a₁z + ..., μ_q = max_0≤ν≤q |a_ν|, регулярна в |z| < 1 и имеет в нем не более

q нулей, из которых не более h лежит в |z| < 1/2, то

где

R₁ = (h + 2)2^h-1μ_h, R₂ = max_|z|=r |f(z)|, 0 < r < 1,

A(q) - константа, зависящая от q. Д. и п. п. и различные его обобщения (напр., длины и объема принцип) применяются и в случае n-мерных пространств к квазиконформным отображениям, а также к отображениям с ограниченным Дирихле интегралом (см. [4] - [7]). При выводе Д. и п. п. существенным образом используется неравенство Буняковского. Дальнейшее рассмотрение связи между длинами кривых и площадью, покрываемой ими, привело к важному методу изучения однолистных конформных и квазиконформных отображений - экстремальной метрики методу (см. напр., [8]). В конце 20-х - начале 30-х гг. метод экстремальной метрики в менее совершенной форме (метод полос) успешно применялся для исследования свойств указанных выше отображений односвязных и многосвязных областей.

Лит.: [1] Ahlfоrs L. W., «Acta Soc. scient. fennica», 1930, A. 1, № 9; [2] Xeйман В. К., Многолистные функции, пер. с англ., М., 1960; [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [4] Суворов Г. Д., Семейства плоских топологических отображений, Новосиб., 1965; [5] Крейнес М. А., «Матем. сб.», 1941, т. 9, № 3, с. 713-19; [6] Овчинников И. С., «Метрические вопросы теории функций и отображений», 1971, в. 3, с. 98-115; [7] Leоng-Ferrand J., Représentation conforme et transformations a intégral de Dirichlet bornees, P., 1955; [8] Джeнкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962.

И. П. Митюк.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.