ДИФФУЗИИ УРАВНЕНИЕ

ДИФФУЗИИ УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс диффузии, т. е. процесс выравнивания концентрации в среде с неравномерным распределением вещества. Д. у. имеет вид

Lu ≡ с ∂u/∂t - div (D grad u) = 0, (1)

где с - коэффициент пористости, D - коэффициент диффузии, u(х, t) - концентрация вещества в точке х среды в момент времени t. Вывод Д. у. проводится путем подсчета баланса массы вещества с использованием закона диффузии Нернста. При этом подразумевается, что в рассматриваемой области отсутствуют источники вещества и диффузия во внешнюю среду. Такое Д. у. наз. однородным Д. у. Если в рассматриваемой области имеются источники вещества с объемной плотностью распределения F(x, t), то процесс диффузии описывается неоднородным Д. у. с правой частью F(x, t). Учет распада или размножения вещества со скоростью, пропорциональной наличной концентрации, приводит к члену ±λ∂u/∂x в правой части Д. у.

Д. у. есть уравнение параболического типа. Для выделения единственного решения ставятся начальное и краевые условия. Начальное условие для Д. у. состоит в задании концентрации u₀(х) вещества в начальный момент

u(х, 0) = u₀(х). (2)

Если при этом вещество заполняет все пространство, то получают задачу Коши (1), (2). Если же диффундирующее вещество заполняет объем V, ограниченный боковой поверхностью S, то, наряду с начальным условием (2), на S задается граничное условие. Основными являются следующие три линейных граничных условия для Д. у.

1) На S задана концентрация θ(x, t) вещества; тогда

u(х, t) = θ(x, t)

есть граничное условие I рода.

2) Задана плотность потока q(x, t) вещества, входящего в V через S; тогда

-D ∂u(x, t)/∂n = g(x, t), x ∈ S,

где n - внутренняя нормаль к поверхности S, есть граничное условие II рода (если S непроницаема, то q(x, t) ≡ 0).

3) S полупроницаема и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией θ(х, t) через S происходит по линейному закону; тогда

∂u(x, t)/∂n = -h(u(x, t) - θ(x, t)), x ∈ S,

есть граничное условие III рода.

Возможны и другие, в том числе и нелинейные граничные условия на S, а также условия, содержащие производные более высокого порядка, чем входящие в Д. у. Являясь частным случаем дифференциального уравнения, описывающего физич. процессы выравнивания, Д. у. аналогично теплопроводности уравнению, Навье-Стокса уравнению для ламинарного потока несжимаемой жидкости, уравнению чистой электропроводности и т. д.

Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

Л. И. Камынин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.