ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ ВЕКТОР

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ ВЕКТОР в пространстве V представления Т группы Ли G - вектор ξ ∈ V, для к-рого отображение

g → T(g)ξ

является бесконечно дифференцируемой (класса С^∞) вектор-функцией на G со значениями в V. Для дифференцируемости вектор-функции f: G → V необходимо (а в случае локально выпуклого квазиполного пространства V и достаточно), чтобы были дифференцируемы все скалярные функции вида F ○ f, где F - линейный непрерывный функционал на V (см. [1]). Теорема Гельфанда-Гординга: если Т - непрерывное представление группы Ли G в банаховом пространстве V, то множество V^∞ дифференцируемых векторов плотно в V. Для однопараметрич. групп эта теорема доказана в [2], на общий случай доказательство перенесено в [3]. Обобщение этого результата на широкий класс представлений в локально выпуклых пространствах получено в [4], см. также [5].

Наличие дифференцируемых векторов в пространстве представления группы Ли позволяет построить представление соответствующей алгебры Ли и тем самым связать теорию представлений групп Ли с теорией представлений алгебр Ли (см. [6] § 10).

Лит.: [1] Grothendieck A., Espaces vectoriels topologiques, Sao Paulo, 1954; [2] Гeльфанд И. М., «Докл. АН СССР», 1939, т. 25, с. 711-16; [3] Garding L., «Рrос. Nat. Acad. Sci. USA», 1947, v. 33, p. 331-32; [4] Mооre R. Т., Measurable, continuos and smooth vectors for semigroups and group representations, Providence, 1968; [5] Жeлобeнко Д. П., «Вестн. МГУ. Сер. матем.», 1965, т. 1, с. 3-10; [6] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978.

А. А. Кириллов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.