ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ дифференциальных уравнений - свойство решении дифференциальных уравнений, состоящее в существовании у решений определенного числа непрерывных производных по независимому переменному t и параметру μ, входящему в уравнение. В теории дифференциальных уравнений вопрос ставится так: какими свойствами должна обладать правая часть уравнения, чтобы решение имело столько-то непрерывных производных по t и μ? Вопрос о Д. р. наиболее систематически исследован для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть имеется уравнение вида (х может быть также и вектором):

dx/dt = f(t, x, μ), (1)

где μ - параметр (тоже, вообще говоря, вектор), и пусть x(t, μ) - его решение, определяемое начальным условием

x|_t=t0 = x₀. (2)

Пусть рассматривается сначала Д. р. по t. В случае непрерывности f по t и x нек-рой области справедлива теорема существования непрерывного решения задачи (1) - (2), и тогда из тождества, получаемого после подстановки x(t, μ) в (1), последует также существование непрерывной производной х'_t. Наличие n непрерывных производных f по t и х обеспечивает существование n + 1 непрерывных производных от решения по t; х⁽ⁿ⁾_t можно найти (выразить через x(t, μ)), последовательным дифференцированием тождества, получаемого в результате подстановки x(t, μ) в (1).

В ряде вопросов, напр. для построения асимптотикп решения по параметру μ, необходимо исследовать производные по μ от x(t, μ). Для определенности рассмотрим задачу о существовании производных по μ при μ = 0. Когда f(t, х, μ) непрерывна и обладает непрерывными частными производными по х и μ в нек-рой области, то η₁ = x'_μ существует и определяется из так наз. уравнения в вариациях (линейного относительно η₁), получаемого из (1), если обе части продифференцировать по μ и положить μ = 0:

dη₁/dt = f'_x(t, x(t, 0), 0)η₁ + f'_μ(t, x(t, 0), 0), (3)

и при помощи начального условия

η₁|_t=t0 = 0 (4)

в случае, если хv от μ не зависит; если же x₀ = х₀(μ),

то η₁|_t=t0 = x₀(0).

Производная η_k от x(t, μ) по μ порядка k (при условии, что f обладает непрерывными частными производными до k-го порядка) определяется из уравнения в вариациях порядка k, к-рое отличается от (3) только неоднородностью, зависящей от t, x(t, 0), η₁, ..., η_k-1. При наличии k + 1 непрерывных производных от x(t, μ) по μ можно воспользоваться формулой Тейлора в качестве асимптотич. формулы для x(t, μ) по μ:

x(t, μ) = x(t, 0) + μη₁(t) + ... + μ^kη_k(t) + O(μ^k+1). (5)

Это имеет важное значение, так как x(t, 0) и η_i находятся из более простых уравнений, чем (1).

В случае аналитич. зависимости правой части от своих аргументов решение является аналитич. функцией параметра μ (см., напр., [2]).

Вопрос о Д. р. по μ сохраняет смысл также в ряде случаев, когда правая часть не является регулярно зависящей от μ. Один из таких случаев имеет место, когда μ входит множителем при производных:

(6)

Если (6) переписать в виде (1), т. е. разрешить относительно производных, то в правой части при μ → 0 появляется особенность типа полюса. Оказывается, что и в этом случае при наличии k + 1 непрерывных производных от правых частей и при нек-рых специальных условиях, так наз. условиях устойчивости, справедливо разложение (5), где η_i - предельные значения производных по μ от решения (6) при μ → 0, определяемые из уравнений в вариациях, строящихся по тому же правилу: нужно продифференцировать (6) по μ и положить μ = 0. Но при этом в отличие от регулярного случая система уравнений в вариациях будет более низкого порядка, чем (6), и начальные значения для η_i, несмотря на то, что у₀, х₀ от μ не зависят, уже не будут нулевыми, а будут равны нек-рым, вообще говоря, отличным от нуля, постоянным, получаемым по определенному правилу [3].

Лит.: [1] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [2] Тихонов А. Н., «Матем. сб.», 1948, т. 22, № 2, с. 193-204; [3] Васильева А. В., Бутузов В. Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, М., 1973.

А. Б. Васильева.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.