ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ - нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек-рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление наиболее разработано в топологич. линейных пространствах.

Пусть X и Y-линейные топологич. пространства. Пусть отображение f определено на открытом множестве V пространства X и принимает значения в пространстве Y. Если разность f(x₀ + h) - f(x₀), где x₀ ∈ V и x₀ + h ∈ V, может быть аппроксимирована линейной относительно приращения h функцией l_x0 : X → Y, то f наз. дифференцируемым отображением в точке х₀. При этом аппроксимирующая линейная функция l_x0 наз. производной или дифференциалом отображен и я в точке х₀ и обозначается символом f'(x₀) или df(x₀). Отображения, имеющие в данной точке одинаковые производные, наз. касательными отображениями друг к другу в этой точке. Значение аппроксимирующей функции на элементе h ∈ X (обозначаемое символом f'(x₀)h или d_hf(x₀)) наз. дифференциалом отображения f в точке х₀ при приращении h.

В зависимости от того, что понимается под аппроксимацией приращения f(x₀ + h) - f(x₀) линейным по h выражением, приходят к различным понятиям дифференцируемое и производной. Все важнейшие существующие определения см. в [1], [2].

Пусть F - совокупность всех отображений из X в Y и τ - нек-рая топология или псевдотопология в F. Отображение r ∈ F является малым в нуле, если кривая

r_t : r(tx)/t,

понимаемая как отображение

прямой -∞ < t < ∞ в F, непрерывна в нуле в псевдотопологии τ. Далее, отображение f ∈ F дифференцируемо в точке х₀, если существует такое линейное (непрерывное) отображение l_x0, что отображение

r : h → f(x₀ + h) - f(x₀) - l_x0(h)

является малым в нуле. В зависимости от выбора τ в F получаются различные определения производных. Напр., в случае, если в качестве топологии τ выбирается топология поточечной сходимости, получается дифференцируемость по Гато (см. Гато производная). В случае, если X и Y - банаховы пространства, а топология в F есть топология равномерной сходимости на ограниченных множествах в X, приходят к дифференцируемости по Фреше (см. Фреше производная).

Если X = Rⁿ, a Y = R^m, то производная f'(x₀) дифференцируемого отображения f(x) = (f₁(x), ..., f_m(x)), где х = (х₁, ..., х_n), задается Якоби матрицей ||∂f_i(x₀)/∂x_j||

и является непрерывным линейным отображением из Rⁿ в R^m.

Производные отображений обладают многими свойствами производных функций одного переменного. Напр., для них в самых широких предположениях имеет место свойство линейности:

(f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀),

(αf)'(x₀) = αf'(x₀);

во многих случаях для них верна формула

(f ○ g)' (x₀) = f'(h(x₀)) ○ g'(x₀)

дифференцирования сложной функции; для отображений в локально выпуклые пространства справедливо обобщение теоремы Лагранжа о среднем значении.

Понятие дифференцируемого отображения распространяется на случай, когда X и Y - гладкие дифференцируемые многообразия, как конечномерные, так и бесконечномерные [4], [5], [6]. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и их производные были определены впервые В. Вольтерра (V. Volterra, 1887), М. Фреше (М. Frechet, 1911), Р. Гато (В. Gateau, 1913). Подробнее об истории развития понятия производной в многомерных пространствах см. [2].

Лит.: [1] Фрёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы, пер. с англ., М., 1970; [2] Авербух В. И., Смолянов О. Г., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 6, с. 201-60; 1968, т. 23, в. 4, с. 67-116; [3] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [4] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер, с англ., М., 1967; [5] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [6] Спивак М., Математический анализ на многообразиях, пер. с англ., М., 1968.

О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, В. М. Тихомиров.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.