НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ,

потоки на торе, - класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы) на элементы к.-л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах «угловых», или «циклических», координат на торе, отсчитываемых по модулю 1 (их можно рассматривать как обычные координаты в евклидовом пространстве ℝn, из к-рого тор Тn получается как факторгруппа по целочисленной решетке ℤn), этот поток описывается так: за время t точка х = (х1, ..., хn) переходит в точку

Тtх = х + tω, (1)

где ω = (ω1, ..., ωn) - набор так наз. базисных частот. Все траектории этого потока являются квазипериодическими функциями времени; их свойства определяются арифметич. свойствами базисных частот. Так, траектории периодичны, если все ωi кратны одному и тому же числу. В другом крайнем случае, когда ωi линейно независимы над ℤ (т. е. никакая нетривиальная линейная комбинация ∑kiωi с целыми ki не равна нулю), каждая траектория всюду плотно заполняет тор (говорят об иррациональной обмотке тора), а поток эргодичен (по отношению к Хаара мере на Тn; мера Хаара естественным образом получается из меры Лебега в ℝn при факторизации по ℤn и сохраняется при сдвигах Тt) и даже строго эргодичен; его спектр дискретен.

Подобные потоки часто возникают в различных вопросах. Напр., для интегрируемых гамилътоновых систем «типичные» финитные (т. е. остающиеся в конечной области фазового пространства) движения приводят как раз к ним (соответствующие торы суть многообразия уровня системы первых интегралов, см. [8]). Обычно такие инвариантные торы с иррациональными обмотками имеются также и у гамильтоновых систем, достаточно близких к интегрируемым (этот вопрос тесно связан с малыми знаменателями).

Для двумерного тора Т2 А. Пуанкаре (Н. Poincaré, [1]), А. Данжуа [2] (см. также [3]) и X. Кнезером ([4], модифицированное изложение см. в [5], [6]) полностью выяснены возможные типы качественного поведения траекторий потоков без положений равновесия. (Из всех замкнутых поверхностей только на торе и Клейна поверхности возможны такие потоки, причем изучение потоков на последней в основном сводится к изучению потоков на торе, являющемся ее двулистной накрывающей поверхностью). Об этих потоках известно следующее. Если на поверхности имеется двусвязная область («кольцо Кнезера»,) к-рая ограничена двумя замкнутыми траекториями и внутри к-рой траектории свиваются с одной из них и навиваются на другую в противоположном направлении (см. рис.), то качественное поведение траекторий на поверхности напоминает поведение траекторий в ограниченной области на плоскости. В частности, все непериодич. траектории в обе стороны по времени стремятся к периодическим. Более интересен случай (возможный лишь на торе), когда колец Кнезера нет; это эквивалентно существованию замкнутой трансверсали L (т. е. замкнутой кривой, нигде не касающейся векторного поля), к-рую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. На L определено отображение последования S - гомеоморфизм, переводящий точку x ∈ L в первую по времени точку пересечения проходящей через х положительной полутраектории с L. Характеристикой каскада {Sn} на L служит число вращения Пуанкаре α (см., например, [3]. Оно отчасти зависит от конкретного выбора L; совершенно инвариантной характеристикой исходного потока является асимптотический цикл [14]). Согласно теореме Данжуа, если S - класса С2 (что гарантировано при соответствующей гладкости трансверсали и исходного потока на торе) и α иррационально, то S топологически сопряжен с поворотом окружности на угол 2πα, т. е. на L можно так ввести циклич. координату х, что S представится в виде х → х + α mod 1. (Если S - класса С1, то это не обязательно так, см. [2].) Тогда разбиение тора на траектории с точностью до гомеоморфизма является таким же, как и в случае (1) (однако это не относится к скорости движения по ним). Гладкость замены координат, гарантируемая теоремой Данжуа, зависит (помимо гладкости S) от арифметических свойств числа вращения α. При почти всех α из S ⊂ Cn, n ≥ 3, следует, что замена координат принадлежит классу Сn-2 [9], но для чисел вращения, очень быстро приближающихся рациональными числами, замена координат, вообще говоря, не гладкая, даже если преобразование S аналитическое (см. [7]).

Если исходный поток на Т2 имеет интегральный инвариант, то колец Кнезера быть не может, a S (независимо от рациональности или иррациональности α) гладко сопряжено с поворотом окружности; таким образом, при отсутствии положений равновесия на торе существуют циклич. координаты х, у того же класса гладкости, что и сам поток, в к-рых последний принимает вид:

ẋ = f(x, у), ẏ = αf(x, у), f(х, у) > 0 (2)

(здесь α - число вращения, отвечающее замкнутой трансверсали х = const). При достаточной гладкости f и надлежащих свойствах а поток (2) можно привести к (1) (с n = 2 и ω = (1, α)) посредством нек-рого диффеоморфизма, в общем же случае это не всегда возможно, и даже эргодические свойства потока (2) могут отличаться от свойств потоков (1) (возможен непрерывный спектр, хотя перемешивание в гладком случае невозможно). См. [10] (опущенные доказательства восстановлены в [11], [12]) и [13].

Лит.: [1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.-Л., 1947; [2] Dеnjоу A., «J. math, pures et appl.», sér. 9, 1932, t. 11, № 4, p. 333-75; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Kneser Н., «Маth. Аnn.», 1924, Bd 91, № 1-2, S. 135-54; [5] Reinhart В. L., «Аmеr. J. Mаth.» 1959, v. 81, № 3, р. 617-31; [6] Аеррlу A., Markus L., «Аmеr. J. Math.», 1963, v. 85, № 4, p. 633-54; [7] Арнольд В. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1961, т. 25, № 1, с. 21-86; [8] его же, «Сиб. матем. ж.», 1963, т. 4, № 2, с. 471-74; [9] Herman М. R., «С. r. Acad. sci.», 1976, t. 283, № 8, p. 579-82; [10] Колмогоров A. H., «Докл. АН СССР», 1953, т. 93, № 5, с. 763-66; [11] Sternberg S., «Аmеr. J. Math.», 1957, v. 79, № 2, p. 397-402; [12] Шкловер М. Д., «Изв. ВУЗов. Математика», 1967, № 10, с. 113-24; [13] Кочергин А. В., «Докл. АН СССР», 1972, т. 205, № 3, с. 515-18; [14] Schwartzman S., «Аnn. Math.», 1957, v. 66, № 2, p. 270-84.

Д. В. Аносов.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru