ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: система бесконечного порядка - бесконечная совокупность дифференциальных уравнений

dx_i/dt = f_i(t, x₁, ...), i = 1, 2, ..., (1)

содержащая бесконечное множество неизвестных функций x_k(t), k = 1, 2, ..., и их производные. Решением такой системы наз. множество функций {x_k(t)}, обращающих все уравнения системы в тождества.

Система (1) наз. счетной, в отличие от несчетной системы

dx_α/dt = f_α(t, ..., x_α, ...), (2)

где а пробегает нек-рое несчетное множество значений. Система вида (2) содержит в себе несчетное множество функций {x_α(t)}, подлежащих определению, и их производные. Рассматриваются также Д. у., содержащие бесконечное множество неизвестных функций двух и более аргументов и их частные производные.

Начало развитию теории систем Д. у. вида (1) положила работа А. Н. Тихонова [1]. Основным ее результатом является доказательство теоремы существования решения системы (1) в предположении, что ее правые части определены при произвольных значениях х₁, х₂, ... (0 ≤ t - t₀ ≤ a), непрерывны по отношению к x₁, х₂, ... при фиксированном значении t, измеримы по t при фиксированных x₁, х₂, ... и ограничены некоторыми суммируемыми на сегменте [t₀, t₀ + a²] функциями М_i(t), i = 1, 2, ... При дополнительных предположениях о выполнении обобщенных условий Липшица

и о сходимости и равномерной ограниченности рядов

доказана теорема единственности решения x_i(t), i = 1, 2, ..., системы (1) при заданных начальных условиях такого, что ряд

сходится.

Дальнейшее развитие теория счетных систем получила в направлении исследований условий ограниченности решений (см. [2]), аналитической зависимости от параметра, устойчивости по Ляпунову и других свойств решений (см. [2]). Особенно глубоко изучены линейные и квазилинейные счетные системы дифференциальных уравнений.

К изучению систем бесконечного порядка плодотворно применяются операторные методы. Так, например, вместо системы (1) рассматривается операторное уравнение

dx/dt = f(t,x), (3)

где x(t) - бесконечномерный вектор нек-рого банахова пространства В, f(t, х) - бесконечномерная вектор-функция со значениями в том же пространстве, производная рассматривается в смысле Фреше. В частности, для уравнения (3) были получены следующие результаты (см. [3]).

Если f(t, х) - ограниченный оператор, то из выполнения локальной теоремы существования и отрицательности генерального показателя (см. [3]) следует неограниченная продолжимость решений с достаточно близкими к нулю начальными значениями.

Если

f(t, х) = Ах

(где А - бесконечномерная постоянная матрица) -ограниченный оператор, то в гильбертовом пространстве ограниченность всех решений при - ∞ < t < ∞ имеет место тогда и только тогда, когда оператор А подобен косоэрмитову. В этом же случае найдено явное выражение решения задачи Коши с начальными условиями x(t₀) = x₀ в виде

x(t) = e^A(t-t₀)x₀, где e^At - операторная экспонента.

Если

f(t, x) ≡ Ax + f(t),

где А имеет прежнее значение, a f(t) - непрерывная Т-периодическая вектор-функция, то существует единственное периодическое решение, когда спектр σ(А) оператора А не содержит точек мнимой оси 2kπi/Т, k = 0, ±1, ±2, ... Для случая

f(t, х) ≡ Ax + F(t, х)

найдены условия устойчивости по Ляпунову в нуле в виде требования

||F(t, x)|| < q||x||, t > 0, ||x|| < ρ,

при достаточно малом g > 0 и расположении спектра оператора А в левой открытой полуплоскости.

Лит.: [1] Тихонов А. Н., «Матем. сб.», 1934, т. 41, в. 4, с. 551-60; [2] Валеев К. Г., Жаутыков О. А., Бесконечные системы дифференциальных уравнений, А.-А., 1974; [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.

И. П. Макаров.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.