ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА - уравнение, связывающее искомую функцию u(х), ее первые производные D_iu = u_xi, i = 1, ..., n, и независимые переменные х = (х₁, ..., х_n). Всякая система дифференциальных уравнений с частными производными может быть приведена к нек-рой системе Д. у. с ч.п.п.п. Для этого достаточно ввести в качестве новых искомых функций все частные производные от каждой функции u_i(х) до порядка l_i - 1 включительно, если хотя бы одна производная порядка l_i входит в к.-л. уравнение рассматриваемой системы. При этом систему следует пополнить новыми уравнениями, выражающими равенство различных смешанных производных. Напр., уравнение

F(х, у, u, u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy) = 0

после введения вспомогательных искомых функций v = u_x, w = u_y приводится к следующей системе уравнений 1-го порядка:

F(х, у, u, v, w, v_x, v_y, w_y) = 0,

u_x - v = 0,

u_y - w = 0,

v_y - w_x = 0

последние три уравнения не независимы).

Одно Д. у. с ч. п. п. п. с одной искомой функцией задается соотношением:

F(x, u, р) = 0, (1)

где p = (p₁, p₂, ..., p_n) = (D₁u, D₂u, ..., D_nu). Всякое решение u = u(х) уравнения (1) при определенных требованиях определяет нек-рую поверхность (интегральную поверхность) в пространстве E переменных (х₁, ..., х_n, u), причем р_i являются компонентами вектора нормали к этой поверхности. Поэтому уравнение (1) задает связь между составляющими вектора нормали к интегральной поверхности и в каждой точке (х, u) определяет (n - 1)-параметрич. семейство касательных к интегральной поверхности плоскостей [или несколько таких семейств, соответствующих различным решениям уравнения (1) относительно р]. Огибающая этого семейства плоскостей наз. конусом Монжа [в данной точке (х, u)], а направления его образующих - характеристическими направлениями. В каждой точке (х, u) эти направления определяются уравнениями

(2)

где p = (p₁, p₂, ..., p_n) - любой вектор, удовлетворяющий уравнению (1). Кривая с непрерывно изменяющейся касательной, имеющая в каждой своей точке характеристич. направление, наз. кривой Монжа, или фокальной кривой. Фокальная кривая является интегральной кривой системы (2) при произвольно заданном непрерывно дифференцируемом векторе p = p(х, u) таком, что F(x, u, р) = 0. Поскольку каждой точке фокальной кривой сопоставлен вектор р, определяющий направление плоскости, касательной к кривой в этой точке, то фокальная кривая задается одновременно со своими касательными плоскостями и наз. поэтому фокальной полосой. Если σ - параметр на фокальной кривой то уравнение

∂u/∂σ = ∑p_iF_pi

системы (2) наз. уравнением (или условием) полосы.

Если фокальная кривая принадлежит интегральной поверхности u = u(х) уравнения (1) и в каждой ее точке выполнены равенства р_i = D_i u(x), то она наз. характеристической кривой (бихарактеристикой), а соответствующая фокальная полоса - характеристической полосой. Характеристич. полоса определяется системой уравнений:

dx_i/F_pi = du/∑p_jF_pj = dp_i/(F_xi + p_iF_ll), (3)

к-рая наз. характеристической системой уравнения (1). Функция F(x, u, р) является интегралом системы уравнений (3), поэтому условие F = 0 выполнено на всей характеристич. кривой, если оно выполнено в к.-л. ее точке. Интегральная поверхность уравнения (1), касаясь в каждой своей точке конуса Монжа, является огибающей семейства конусов Монжа и тем самым - огибающей семейства характеристич. полос. Последнее означает, что интегральная поверхность состоит из характеристич. кривых, так что ее нахождение сводится к интегрированию характеристич. системы (3). Фокальные кривые, не сводящиеся к характеристическим (если они существуют), являются огибающими последних на интегральной поверхности u = u(х). Их проекции на пространство (х₁, х₂, ..., х_n) состоят из точек сингулярности решения u(х).

Уравнение (1) наз. квазилинейным, если

Уравнения (2) в этом случае имеют вид:

dx_i/f_i(x, u) = du/f_n+1(x, u) (4)

и не содержат р; конус Монжа вырождается в прямую (ось Монжа), и все фокальные кривые являются характеристическими.

Задача Коши для уравнения (1) состоит в нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданное (n - 1)-мерное (начальное) многообразие:

x_i = x⁰_i(λ₁, ..., λ_n-1), u = u⁰(λ₁, ..., λ_n-1) (5)

Эта интегральная поверхность состоит из характеристич. кривых, проведенных через точки начального многообразия. В случае квазилинейного уравнения последние получаются интегрированием характеристич. системы (4) с начальными условиями (5). В общем случае для построения характеристич. кривых условия (5) нужно дополнить заданием начальных значений p_i = p⁰_i(λ₁, ..., λ_n-1), к-рые определяются из уравнений:

(6)

получающихся дифференцированием условий (5), и уравнения

F(х⁰, u⁰, р⁰) = 0. (7)

Ввиду нелинейности, уравнения (6) и (7) определяют р⁰_i(λ) и, соответственно, решение задачи Коши (1), (5), вообще говоря, неоднозначно. Пусть

x_i = X_i(σ, λ₁, ..., λ_n-1), u = U(σ, λ₁, ..., λ_n-1) (8)

- уравнения характеристич. кривых, проходящих через точки начального многообразия. Если начальное многообразие (5) не является характеристическим (см. Характеристическое многообразие), то эти уравнения - параметрические уравнения искомой интегральной поверхности, они определяют решение u = u(х) задачи Коши, если эта поверхность однозначно проектируется на пространство независимых переменных (x₁, ..., х_n). В случаях, когда уравнения (8) определяют поверхность, не представимую, однако, уравнением u = u(х), т. е. не проектирующуюся однозначно на пространство (х₁, ..., х_n), вводят понятие обобщенного решения задачи Кошп (1), (5).

Решение нелинейного уравнения (1), по существу, сводится к решению системы квазилинейных уравнений с одинаковой главной частью:

получающейся дифференцированием уравнения (1).

Примеры. (D₁u)² + (D₂u)² = 1; характеристич. полосы задаются уравнениями:

∂u/∂t + u ∂u/∂x = 0; характеристич. система (3) имеет вид ∂x/u = ∂u/0 = ∂t/1, уравнения характеристик: (x - x₀)/(t - t₀) = u₀, u = u₀, решение задачи Коши с начальным условием u(х, 0) = u⁰(х) задается параметрич. уравнениями

x = λ + tu⁰(λ), u = u⁰(λ).

Полным интегралом уравнения (1) наз. решение

u = φ(х, а) (9)

уравнения (1), существенно зависящее от n параметров a₁, а₂, ..., a_n. Решение вида (9) есть полный интеграл, если ранг матрицы

равен n (в нек-рой области изменения переменных). Путем образования огибающих из полного интеграла строятся решения уравнения (1), зависящие от произвольных функций.

Если из n-параметрич. семейства поверхностей (9) выделить (n - k)-параметрич. семейство, предполагая параметры а связанными k соотношениями φ_i(а) = 0, i = 1, 2, ..., k, то огибающая этого семейства зависит от к произвольных функций n - k переменных; соответствующие решения, зависящие от произвольных функций, наз. общими интегралами. Огибающая n-параметрич. семейства (9) (если она существует) не содержит никакого произвола и дает особый интеграл, к-рый может быть также найден исключением р из соотношений F = F_p = 0.

Многообразие касания поверхности семейства (9) с огибающей этого семейства является характеристич. многообразием к измерений. В частности, при k = 1 это многообразие является характеристич. кривой. На этом основан способ построения общего решения характеристич. системы уравнений (3) по полному интегралу уравнения (1) (метод Якоби), часто применяемый при интегрировании канонич. уравнений.

Переопределенные системы Д. у. с ч. п. п. п.- это системы уравнений вида (1), в к-рых число независимых уравнений больше числа искомых функций. Такие системы, вообще говоря, противоречивы, и выделение классов непротиворечивых (совместных) систем составляет предмет теории совместности дифференциальных уравнений с частными производными.

Пусть имеется переопределенная система

(10)

для одной искомой функции u(х). Пусть все уравнения системы (10) независимы, так что то ≤ n. Эта система наз. замкнутой, если все уравнения вида

({ , } - скобки Пуассона) являются следствиями исходных уравнений, и незамкнутой - в противном случае. Незамкнутую систему с помощью присоединения независимых уравнений вида (11) можно расширить до замкнутой. При m = n замкнутая система имеет только тривиальное решение, а при m < n количество ее независимых решений равно n - m.

Лит.: [1] Goursat Е., Lecons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, 2 éd., P., 1921; [2] Carathéodory C., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lpz.- В., 1935; [3] Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, Л.-М., 1934; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [6] его же, Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [7] Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц., 1962; [8] Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.- Л., 1947; [9] Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.-Л., 1948; [10] Яненко Н. Н., Рождественский Б. Л., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М., 1968.

Н. Н. Кузнецов, Б. Л. Рождественский.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.