ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с данными на характеристиках

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с данными на характеристиках - задача, состоящая в решении дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными по заданным условиям на характеристических многообразиях. Основными задачами такого типа являются характеристическая задача Коши и Гурса задача.

В случае характеристич. задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристич. в каждой точке, начальные данные не могут быть заданы произвольным образом. Они должны удовлетворять определенным условиям, к-рые диктуются дифференциальным уравнением. Поэтому характеристич. задача Коши, вообще говоря, не является корректно поставленной, если на класс искомых решений и на заданные функции не наложены дополнительные условия (особенно вдоль многообразия, не касательного к начальному). Напр., для теплопроводности уравнения

u_t = u_xx характеристич. задача Коши

u|_t=0 = φ(x)

корректна в классе функций, растущих на бесконечности не быстрее ехр(сх²); если же показатель 2 при х заменить на 2 + ε, то единственности уже не будет. Существует широкий класс уравнений, для к-рых характеристич. задача Коши корректна.

Если начальное многообразие S одновременно является многообразием вырождения типа или порядка уравнения, то характеристич. задача может оказаться правильно поставленной. Напр., для уравнения

u_xx - y^mu_yy = 0, y > 0, 0 < m = const < 1,

с достаточно гладкими начальными данными на любом интервале S характеристики у = 0 задача разрешима и притом единственным образом.

К задачам с данными на характеристиках относятся задачи с неполными и видоизмененными начальными данными, к-рые возникают в теории вырождающихся гиперболич. и параболич. уравнений и систем. Эти задачи для уравнений вида

u_xx - y^mu_yy + au_x + bu_y + cu = 0, y > 0, m > 0,

ставятся следующим образом. Требуется отыскать решение u(х, у) уравнения, удовлетворяющее видоизмененным начальным данным

lim φ(х, у)u = τ(х), lim ψ(х, у)u_y = ν(х),

где α < x < β, φ, τ, ψ и ν - заданные функции, или неполным начальным данным, т. е. одному из этих условий.

Лит.: [1] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [2] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] Тихонов А. Н., «Матем. сб.», 1935, т. 42, с. 199-216; [4] Xермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [5] его же, «Математика», 1968, т. 12, №2, с. 88-109.

А. М. Нахушев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.