ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ; приближенные методы решения - методы получения аналитич. выражений (формул), либо численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное-решение дифференциального уравнения (д. у.) или системы для одного или нескольких значений аргумента. Важность приближенных методов решения д. у. обусловливается тем, что точные решения в виде аналитич. выражений получаются лишь для немногих типов д. у.

Одним из старейших методов приближенного решения обыкновенных д. у. является метод разложения в ряд Тейлора. Согласно этому методу решение уравнения

у' = f(x, у)

с начальным условием

y(х₀) = y₀

приближается отрезком ряда Тейлора

Производные y^(k)(x₀) выражаются через f(x, у) и ее частные производные:

y' = f(x, y), y'' = f'_x(x, y) + f'_y(x, y)y', y''' = f''_xx(x, y) + 2f''_xy(x, y)y' + f''_yy(x, y)y'² + f'_y(x, y)y''

и т. д. Погрешность метода пропорциональна (х - х₀)ⁿ⁺¹. При больших значениях х - х₀ погрешность медленно стремится к нулю при n → ∞, а если значение х - х₀ превосходит значение радиуса сходимости ряда Тейлора, то погрешность вообще не стремится к нулю при n → ∞. Это обстоятельство, а также необходимость вычисления большого числа частных производных резко ограничивают область применения метода. Обычно метод разложения в ряд Тейлора, так же как и методы разложения в ряды более общего вида, применяют для нахождения приближенного решения в виде аналитич. выражения. К методам, применяемым для этой же цели, относятся Чаплыгина метод, использующий дифференциальные неравенства, и последовательных приближений метод. Эти методы применяются в основном в теоретич. исследованиях и редко используются для получения численных решений д. у. в практич. расчетах.

В приложениях часто используются асимптотич. методы приближенного решения Д. у., основанные на выделении в решаемом уравнении главных членов и членов, малых по сравнению с главными. Примером может служить малого параметра метод для уравнения y' = f(x, у; μ). Асимптотич. методы используются как для получения аналитич. выражений, приближающих решение, так и для исследований качественного поведения решений.

Наиболее распространенными методами численного решения д. у. являются методы, в к-рых решение ищется в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х) для ряда значений аргумента х из отрезка х₀ ≤ x ≤ x₀ + X. Напр., пусть ищется решение уравнения у = f(x, у) с начальным условием у(х₀) = у₀ на отрезке х₀ ≤ х ≤ х₀ + X в предположении, что решение вычисляется для значений аргумента

х_p = х₀ + ph, p = 0, 1, N, h = X/N;

значения х_p наз. узлами, а величина h - шагом; через у_p обозначено значение приближенного решения в узле х_p.

Один из простейших численных методов - Эйлера метод основан на приближенном вычислении в тождестве

квадратуру по формуле прямоугольников:

у_p+1 = у_p + hf(x_p, y_p).

Погрешность метода Эйлера пропорциональна h². Приближая интеграл

(1)

более точными квадратурными формулами, можно получить более точные численные методы. Напр., если воспользоваться для приближения (1) формулой трапеций, то

y_p+1 = y_p + h/2 (x_p, y_p) + f(x_p+1, y_n+1).

Обычно это уравнение неразрешимо относительно у_p+1. Для его решения можно воспользоваться итерационными методами, взяв в качестве начального приближения значение y_p+1, полученное по методу Эйлера. Одна итерация приводит к следующим формулам:

y_p+1 = y_p + h/2 (k₁(x_p, y_p) + k₂(x_p, y_p)),

где

k₁(x_p, y_p) = f(x_p, y_p)

и

k₂(x_p, y_p) = f(x_p + h, y_p + hk₁(x_p, y_p)).

Эти формулы имеют погрешность порядка h³. Они относятся к семейству Рунге - Кутта методов. Один из наиболее распространенных методов этого семейства имеет порядок погрешности h⁵. Методы Рунге - Кутта наз. одношаговыми, так как для вычисления у_p+1 достаточно знать лишь у_p - значения приближенного решения на предыдущем шаге. Это обстоятельство позволяет применять формулы метода Рунге - Кутта для неравноотстоящих узлов, то есть в случае, когда разность х_p+1 - х_p непостоянна. При выборе шага интегрирования полезно иметь в распоряжении нек-рую характеристику погрешности метода на шаге. Для оценки погрешности на шаге часто используется прием, называемый экстраполяцией по Ричардсону: у_p+2 вычисляется дважды - при помощи двух шагов h и одного шага 2h; полученные значения обозначаются через y⁽¹⁾_p+2 и y⁽²⁾_p+2 соответственно погрешность на шаге

где s + 1 - порядок r_p+2 по h (для метода Эйлера s = 1, для формулы трапеций s = 2 и т. д.). Другой способ оценки погрешности на шаге состоит в получении формул метода Рунге - Кутта с контрольным членом, к-рый с точностью до малых более высокого порядка приближает главный член погрешности метода на шаге. Разработаны так наз. неявные одношаговые методы, к-рые оказались весьма эффективными для нек-рых классов задач.

Помимо семейства одношаговых методов для численного решения д. у. используются также и многошаговые методы (или конечноразностные). В этих методах для определения у_p+1 требуются не только у_p, но и значения y_p-i в нек-рых нескольких предыдущих узлах. Формулы k-шаговых методов имеют вид:

где а_-i, b_-i - постоянные, а₀ ≠ 0. Если b₀ = 0, соответствующий метод наз. экстраполяционным, или явным; если b₀ ≠ 0,- интерполяционным, или неявным, методом. Частным случаем многошаговых методов являются методы типа Адамса (см. Адамса метод):

Обычно вычисления ведут по паре k-шаговых формул, одна из к-рых явная, а другая неявная. Такие пары формул наз. методами прогноза и коррекции. В качестве примера формул прогноза и коррекции можно привести формулы Хемминга:

имеющие на шаге погрешность порядка h⁶. При счете по формулам Хемминга сначала вычисляется «прогноз» y*_p+1, затем - «поправка» ỹ_p+1, затем - «коррекция» у**_p+1 и, наконец,- приближенное решение y_p+1.

В небесной механике широко используются формулы Штермера (см. Штермера метод), особенно удобные для уравнений вида

y" = f(х, y);

они имеют вид:

(явная формула Штермера)и

(неявная формула Штермера). В формулах Штермера

b_-2 = 1, b_-3 = 1, b_-4 = 19/20, ...; c_-2 = 1, c_-3 = 0, c_-4 = -1/120, ...;

Δ^q(f) - конечная разность порядка q.

Применение многошаговых методов возможно лишь в случае, если известны значения решения в к первых узлах. Для нахождения этих значений обычно пользуются одношаговыми методами, погрешность к-рых пропорциональна соответствующей степени h.

Иногда для вычисления y_p-q используется несколько предшествующих значений у_p-q, как в многошаговых методах, но в то же время на каждом шаге производится несколько вычислений правой части, как в методах Рунге - Кутта.

Решение краевых задач для обыкновенных д. у. обычно сводится к решению нескольких задач с начальными условиями. Простейшим методом такого рода является стрельбы метод, применяемый как к линейным, так и к нелинейным краевым задачам. Пусть, напр., требуется решить краевую задачу для одного уравнения 2-го порядка:

y'' = f(x, у, у'), у(0) = а, у(l) = b.

Полагая у'(0) = с, можно решить задачу с начальным условием

y'' = f(x, у, у'), у(0) = а, у'(0) = с, (2)

на отрезке 0 ≤ x ≤ l и вычислить значение у(l, с). Из условия у(l, с₀) = b определяется с₀. Тогда решение краевой задачи будет совпадать с решением задачи с начальными условиями у(0) = а, у'(0) = с₀. Корень с₀ уравнения y(l, с) = b обычно ищется каким-либо приближенным методом и его нахождение связано с многократным решением задачи с начальными условиями (2). Метод стрельбы часто неустойчив к вычислительной погрешности.

Для линейных краевых задач часто применяют прогонки метод, при к-ром решение краевой задачи для уравнения 2-го порядка сводится к решению трех задач с начальным условием для уравнений 1-го порядка. Напр., пусть решается краевая задача

y'' = p(x)y + f, y'(0) = а₀у(0) + b₀, у'(l) = а₁y(l) + b₁.

Подбираются функции а(х) и b(х) такие, что у'(х) = а(х)у(х) + b(х) при всех 0 ≤ x ≤ l. Эти функции могут быть получены как решения задач с начальными условиями

а'(х) + a²(х) = р(х), а(0) = а₀

и

b'(x)+a(x)b(x) = f(x), b(0) = b₀.

Решение этих задач наз. прямой прогонкой. В результате прямой прогонки получаются два условия для определения у(l) и у'(l):

y'(l) = a₁y(l) + b₁ и y'(l) = a(l)y(l) + b(l).

Из этих условий находится y(l) = y_l, после чего решение y(k) исходной краевой задачи получается как решение задачи с начальным условием

у'(х) = а(х)у(х) + b(х), у(l) = у_l

на отрезке 0 ≤ x ≤ l - так наз. обратная прогонка. Методы стрельбы и прогонки применимы для решения краевых задач в случае систем д. у. В вычислительной практике широко используются разностные аналоги этих методов.

Для решения нелинейных краевых задач, кроме метода стрельбы, используют методы линеаризации в сочетании с методом прогонки. Наиболее распространенным методом этого класса является Ньютона метод.

При решении краевых задач применяются также и различные вариационные методы: Ритца метод, Галеркина метод и др. Вариационные методы сводят решение краевых задач к минимизации нек-рого функционала; приближение к решению ищется в задаваемом виде

у(x) = g(a₁, ..., а_n, х);

параметры а₁, ..., а_n определяются из условия минимума функционала.

Большинство численных методов решения обыкновенных д. у. реализовано в виде библиотечных программ ЭВМ.

Кроме аналитических и численных методов для приближенного решения обыкновенных д. у. применяются графич. методы, напр. метод изоклин, связанный с построением поля направлений, определяемого д. у. Применяются также аналоговые вычислительные машины и другие моделирующие устройства.

Лит.: [1] Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; [2] Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 2, 2 изд., М., 1962; [3] Михлин С. Г., Смолицкий X. Л., Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, М., 1965; [4] Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971; [5] Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1955; [6] Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; [7] Xемминг Р. В., Численные методы..., пер. с англ., 2 изд., М., 1972; [8] Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы. Введение в теорию, М., 1973; [9] Коллатц Л., Задачи на собственные значения..., пер. с нем., М., 1968.

С. С. Гайсарян.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.