ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЕ - уравнение, в к-ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков.

Термин «дифференциальные уравнения» был предложен Г. Лейбницем (G. Leibniz, 1676). Первые исследования Д. у. о. были проведены в конце 17 в. в связи с изучением проблем механики и нек-рых геометрич. задач.

Д. у. о. имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, к-рым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме Д. у. о., а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов. Напр., законы механики Ньютона позволяют механич. задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математич. задаче нахождения решений Д. у. о. Расчет радиотехнич. схем и вычисление траекторий спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химич. реакций - все это производится путем изучения и решения Д. у. о. Наиболее важные и интересные технич. приложения Д. у. о. находят в колебаний теории и в автоматического управления теории. В свою очередь прикладные вопросы служат источником новых постановок задач в теории Д. у. о.; именно так возникла, напр., оптимального управления математическая теория.

В дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через t, неизвестные функции - через х, у, z и др., а производные этих функций по f - через х̇, х̈, ..., х⁽ⁿ⁾ и т. д.

Простейшее Д. у. о. встречается уже в анализе: нахождение первообразной для данной непрерывной функции f(t) является по существу задачей об определении такой неизвестной функции x = x(t), к-рая удовлетворяет уравнению

ẋ = f(t). (1)

Для доказательства разрешимости этого уравнения необходимо было построить специальный аппарат -теорию интеграла Римана.

Естественным обобщением уравнения (1) является Д. у. о. 1-го порядка, разрешенное относительно производной:

ẋ = f(t, x), (2)

где f(t, х) - известная функция, определенная в нек-рой области D плоскости t, х. Многие практич. задачи сводятся к задаче решения (или, как часто говорят, интегрирования) этого уравнения. Решением Д. у. о. (2) наз. функция x = x(t), определенная и дифференцируемая на нек-ром интервале I и удовлетворяющая условиям:

(t, x(t)) ∈ D, t ∈ I,

х̇(t) = f(t, х(t)), t ∈ I.

Решение Д. у. о. (2) геометрически можно изобразить на плоскости t, х в виде кривой с уравнением x = x(t), t ∈ I. Эта кривая наз. интегральной кривой, в каждой своей точке она имеет касательную и целиком лежит в области D. Геометрич. интерпретацию самого уравнения (2) дает поле направлений в области D, к-рое получается, если через каждую точку (t, x) ∈ D провести отрезок l_t,x малой длины с угловым коэффициентом f(t, х). Любая интегральная кривая x = x(t) в каждой своей точке (t, x(t)) касается отрезка l_t,x(t). Ответ на вопрос о том, когда уравнение (2) имеет решение, дает теорема существования: если f(t, x) ∈ C(D) (т. е. непрерывна в D), то через любую точку (t₀, x₀) ∈ D проходит по крайней мере одна непрерывно дифференцируемая интегральная кривая уравнения (2), и каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой подобласти, целиком лежащей в D и содержащей точку (t₀, х₀). Другими словами, для всякой точки (t₀, x₀) ∈ D найдется хотя бы одно непродолжаемое решение x = x(t), t ∈ I, такое, что x(t) ∈ С¹(I) (т. е. непрерывна в I вместе с производной x(t)),

x(t₀) = x₀ (3)

и x(t) стремится к границе области D, когда t стремится к правому или левому концам интервала I.

Важнейшим теоретич. вопросом является выяснение того, какие предположения о правой части Д. у. о. надо сделать и какие дополнительные условия можно присоединить к уравнению, чтобы выделить одно единственное его решение. Справедлива следующая теорема существования и единственности: если f(t, x) ∈ C(D) и удовлетворяет в D Липшица условию по х, a (t₀, x₀) ∈ D, то уравнение (2) имеет единственное непродолжаемое решение, удовлетворяющее условию (3). В частности, если два решения x = x₁(t), t ∈ I₁, и x = x₂(t), t ∈ I₂, такого уравнения (2) совпадают хотя бы для одного значения t = t₀, т. е. x₁(t₀) = x₂(t₀), то

x₁(t) = x₂(t), t ∈ I₁ ∩ I₂.

Геометрич. содержание этой теоремы заключается в том, что вся область D покрыта интегральными кривыми уравнения (2), к-рые нигде не пересекаются между собой. Единственность решений имеет место и при нек-рых более слабых предположениях относительно функции f(t, х) (см., напр., [6]).

Соотношение (3) наз. начальным условием. Числа t₀ и х₀ наз. начальными значениями для решения уравнения (2), а точка (t₀, х₀) - начальной точкой соответствующей интегральной кривой. Задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию (3) (или, как еще говорят, имеющего начальные значения t₀, х₀), наз. Коши задачей, или начальной задачей. Сформулированная только что теорема дает достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши (2), (3).

Часто прикладные вопросы приводят к системам Д. у. о., в к-рые входят несколько неизвестных функций от одного и того же независимого переменного и их производные. Естественным обобщением уравнения (2) является нормальная форма системы дифференциальных уравнений n-го порядка:

ẋⁱ = fⁱ(t, х¹, х², ..., хⁿ), i = 1, ..., n, (4)

где х¹, х², ..., хⁿ - неизвестные функции от переменного t, а fⁱ, i = 1, 2, ... n, суть заданные функции от n + 1 переменных. Полагая

х = (х¹, ..., хⁿ),

х(t, х) = (f¹(t, х), ..., fⁿ(t, х)),

можно переписать систему (4) в векторной форме:

х̇ = х(t, х). (5)

Решением системы (4) или векторного уравнения (5) является вектор-функция

х = х(t) = (x¹(t), ..., xⁿ(t)), t ∈ I. (6)

Каждое решение можно представлять себе в (n+1)-мерном пространстве t, х¹, х², ..., хⁿ в виде интегральной кривой - графика вектор-функции (6).

Задача Коши для уравнения (5) состоит в отыскании решения, удовлетворяющего начальным условиям

x¹(t₀) = x¹₀, ..., xⁿ(t₀) = xⁿ₀,

или

х(t₀) = х₀. (7)

Решение задачи Коши (5), (7) удобно записывать в виде

х = х(t, t₀, х₀), t ∈ I. (8)

Теорема существования и единственности для уравнения (5) формулируется так же, как и для уравнения (2).

Весьма общие системы Д. у. о. (разрешенные относительно старших производных всех неизвестных функций) сводятся к нормальным системам. Важным частным классом систем (5) являются линейные системы Д. у. о. n-то порядка:

ẋ = А(t)x + F(t),

где А(t) - матрица типа n × n.

Большое значение в приложениях и в теории Д. у. о. имеют автономные системы Д. у. о.:

ẋ = f(x), (9)

т. е. нормальные системы, правая часть к-рых явно не зависит от переменного t. В этом случае уравнение (б) удобно рассматривать как параметрич. представление кривой, сопоставляя решению фазовую траекторию в n-мерном фазовом пространстве х¹, х², ..., хⁿ. Если x = x(t) есть решение системы (9), то ей удовлетворяет также функция x = x(t + c), где с - произвольная постоянная.

Другим обобщением уравнения (2) является Д. у. о. n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

y⁽ⁿ⁾ = f(t, у, у̇, ..., y^(n-1))

Важный частный класс таких уравнений - линейные Д. у. о.:

у⁽ⁿ⁾ + a₁(t)y^(n-1) + ... + a_n-1(t)ẏ + a_n(t)y = F(t).

Уравнение (10) сводится к нормальной системе n-го порядка, если ввести новые неизвестные функции переменного t по формулам

х¹ = у, х² = у̇, x^n-1 = у^(n-2), xⁿ = у^(n-1).

Если, напр., уравнение (10) описывает динамику нек-рого объекта и нужно исследовать движение этого объекта, начинающееся в определенный момент t = t₀ из определенного наяального состояния, то к уравнению (10) добавляются дополнительные условия:

y(t₀) = y₀, ẏ(t₀) = ẏ₀, ..., y^(n-1)(t₀) = y^(n-1)₀. (11)

Задача отыскания такой п раз дифференцируемой функции y = y(t), t ∈ I, к-рая обращает уравнение (10) в тождество при всех t ∈ I и удовлетворяет начальным условиям (11), наз. задачей Коши.

Теорема существования и единственности: если

f(t, u₁, u₂, ..., u_n) ∈ С(D)

и удовлетворяет условию Липшица по u₁, u₂, ..., u_n, а

(t₀, y₀, ẏ₀, ..., y^(n-1)₀) ∈ D.

то задача Коши (10), (11) имеет единственное решение.

Задача Коши далеко не исчерпывает тех задач, к-рые изучаются для уравнений (10) высших порядков [как и систем (5)]. Конкретные физич. и технич. проблемы часто приводят не к начальным условиям, а к дополнительным условиям иного вида (так наз. краевым условиям), когда значения искомой функции y(t) и ее производных (или соотношения между ними) задаются для нескольких различных значений независимого переменного. Напр., в задаче о брахистохроне требуется проинтегрировать уравнение

2уӱ + у̇² + 1 = 0

при краевых условиях у(а) = А, у(b) = В; отыскание 2π-периодич. решения для Дуффинга уравнения сводится к выделению такого его решения, к-рое удовлетворяет условиям периодичности: у(0) = у(2π), у̇(0) = у̇(2π); при изучении обтекания пластинки ламинарным потоком встречается задача:

у⁽³⁾ + yÿ = 0, y(0) = у̇(0) = 0, ẏ(t) → 2 при t → ∞.

Задача отыскания для Д. у. о. высшего порядка или системы Д. у. о. решения, удовлетворяющего условиям, отличным от начальных условий (11), наз. краевой задачей. Теоретич. анализ существования и единственности решения краевой задачи имеет существенное значение для прикладной проблемы, приводящей к этой краевой задаче, поскольку он показывает взаимную согласованность допущений, принятых при математич. описании проблемы, и известную полноту этого описания. Одной из важных краевых задан является Штурма -Лиувилля задача. Краевые задачи для линейных уравнений и систем тесно связаны с задачами о собственных значениях и собственных функциях, а также со спектральным анализом обыкновенных дифференциальных операторов.

Главной задачей теории Д. у. о. является изучение решений таких уравнений. Однако вопрос о том, что значит изучить решения Д. у. о., в разное время понимали по-разному. Первоначально стремились осуществить интегрирование уравнений в квадратурах, т. е. получить замкнутую формулу, дающую (в явной, неявной или параметрич. форме) выражение зависимости того или иного решения от t через элементарные функции и интегралы от них. Такие формулы, если они найдены, оказывают существенную помощь в вычислениях и при исследовании свойств решений. Особый интерес представляет описание всей совокупности решений данного уравнения. При весьма общих предположениях уравнению (5) удовлетворяет семейство вектор-функций, зависящее от n произвольных независимых параметров. Если уравнение этого семейства имеет вид

x = φ(t, с₁, с₂, ..., с_n),

то функция φ наз. общим решением уравнения (5).

Однако в середине 19 в. были указаны первые примеры Д. у. о., к-рые нельзя проинтегрировать в квадратурах. Оказалось, что решение в замкнутой форме удается найти лишь для небольшого числа классов уравнений (см., напр., Бернулли уравнение, Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами). Не выражающиеся в квадратурах решения отдельных, наиболее важных и часто встречающихся уравнений (напр., Бесселя уравнение) стали изучать подробно, ввели для них специальные обозначения, исследовали их свойства и составили таблицы значений. Так появились многие специальные функции.

В связи с потребностями практики постоянно разрабатывались и способы приближенного интегрирования Д. у. о., напр. последовательных приближений метод, Адамса метод и др. Были предложены также разнообразные приемы графич. и механич. интегрирования этих уравнений. Математика располагает богатым набором численных методов решения многих задан для Д. у. о. (см. Дифференциальное уравнение обыкновенное; приближенные методы решения). Эти методы представляют собой удобные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника дает возможность экономно и быстро довести решение каждой такой задачи до числового результата.

Однако численные методы для конкретного уравнения дают лишь конечное число частных решений на конечном отрезке изменения независимого переменного. Они не могут ответить на вопросы о том, каково асимптотическое поведение решений, есть ли у данного уравнения периодическое решение имеет ли это уравнение колеблющееся решение. Между тем во многих прикладных задачах важно установить характер решения на бесконечном промежутке изменения независимого переменного, изучить полную картину интегральных кривых. В связи с этим центр тяжести в теории Д. у. о. был перенесен на исследование общих закономерностей поведения решений Д. у. о., разработку методов, к-рые позволяли бы получать представление о глобальных свойствах решений по самому дифференциальному уравнению, без его интегрирования.

Все это составило предмет качественной теории дифференциальных уравнений, возникшей в конце 19 в. и интенсивно развивающейся.

Принципиальное значение имеет выяснение того, является ли задача Коши для Д. у. о. корректно поставленной задачей. Поскольку в конкретных задачах начальные значения не могут быть указаны абсолютно точно, то важно выяснить, когда малые изменения начальных значений влекут за собой также малые изменения решений. Справедлива теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений: пусть (8) есть решение уравнения (5), где f(t, x) ∈ С(D) и удовлетворяет условию Липшица по x; тогда для любого ε > 0 и любого замкнутого J ⊂ I, t₀ ∈ J, найдется такое δ > 0, что решение x(t, t₀, x^*₀) этого уравнения, где |x^*₀ - x₀| < δ, определено на J и при всех t ∈ J

|x(t, t₀, x^*₀) - x(t, t₀, x₀)| < ε. (12)

Другими словами, если задаться определенным замкнутым отрезком изменения независимого переменного, то при достаточно малом изменении начальных значений решение мало изменится на всем выбранном промежутке. Этот результат может быть обобщен в сторону получения условий, обеспечивающих дифференцируемость решений Д. у. о. по начальным значениям.

Однако сформулированная теорема не исчерпывает актуальную для. приложений проблему, поскольку в ней речь идет лишь о замкнутом отрезке изменения независимого переменного. Между тем часто (напр., в теории управления движением) рассматривается решение задачи Коши (5), (7), определенное при всех t ≥ t₀, и необходимо выяснить устойчивость этого решения по отношению к малым возмущениям начальных значений на всем бесконечном промежутке t ≥ t₀, т. е. получить условия, обеспечивающие справедливость неравенства (12) при всех t ≥ t₀. Именно к этой задаче сводится исследование устойчивости положения равновесия или стационарного режима конкретной системы. Решение, мало изменяющееся на бесконечном промежутке [t₀, ∞) при достаточно малых отклонениях начальных значений, называется устойчивым по Ляпунову (см. Устойчивость по Ляпунову).

При выводе Д. у. о., описывающего реальный процесс, всегда приходится чем-то пренебрегать, что-то идеализировать. Иначе говоря, Д. у. о. описывают процесс приближенно. Напр., изучение работы лампового генератора приводит к Ван дер Поля уравнению при нек-рых предположениях, к-рые не вполне точно соответствуют действительному положению вещей. Далее, на ход процесса часто оказывают влияние возмущающие факторы, учесть к-рые при составлении уравнений практически невозможно; известно лишь, что их влияние «мало». Поэтому важно выяснить, как меняется решение при малых изменениях самой системы уравнений, т. е. при переходе от уравнения (5) к возмущенному уравнению

ẋ = f(t, x) + R(t, x),

учитывающему малые поправочные члены. Оказывается, что на замкнутом отрезке изменения независимого переменного (при тех же предположениях, что и в теореме о непрерывной зависимости решений от начальных значений) решение мало меняется, если возмущение R(t, x) достаточно мало. Если это свойство имеет место на бесконечном промежутке t ≥ t₀, то решение наз. устойчивым при постоянно действующих возмущениях.

Исследование устойчивости по Ляпунову, устойчивости при постоянно действующих возмущениях и их модификаций составляют предмет важнейшего раздела качественной теории - устойчивости теории. Для практики в первую очередь представляют интерес такие системы Д. у. о., решения к-рых мало изменяются при всех малых изменениях этих уравнений; такие системы наз. грубыми системами.

Другой важной задачей качественной теории является получение схемы поведения семейства решений во всей области определения уравнения. Применительно к автономной системе (9) речь идет о построении фазовой картины, т. е. о качественном описании в целом всей совокупности фазовых траекторий в фазовом пространстве. Такая геометрич. картина дает полное представление о характере всех движений, к-рые могут происходить в рассматриваемой системе. Для этого существенно прежде всего выяснить поведение траекторий в окрестности положений равновесия, отыскать сепаратрисы и предельные циклы. Особо актуальной задачей является нахождение устойчивых предельных циклов, ибо им соответствуют автоколебания в реальных системах.

Любой реальный объект характеризуется различными параметрами, к-рые часто входят в виде нек-рых величин (ε¹, ε², ..., ε^k) = ε в правую часть системы

Д. у. о., описывающей поведение объекта:

ẋ = x(t, x, ε). (13)

Значения этих параметров не могут быть известны абсолютно точно, и потому важно выяснить условия, обеспечивающие устойчивость решений уравнения (13) по отношению к малым возмущениям параметра ε. Если задаться определенным замкнутым отрезком изменения независимого переменного, то при естественных предположениях о правой части уравнения (13) имеет место непрерывная (и даже дифференцируемая) зависимость решений от параметров.

Выяснение зависимости решений от параметра имеет прямое отношение к вопросу о том, насколько хороша идеализация, приводящая к математич. модели поведения объекта - системе Д. у. о. Одним из типичных примеров идеализации является пренебрежение малым параметром. Если учет этого малого параметра приводит к системе (13), то непрерывная зависимость решений от параметра позволяет при изучении поведения объекта на конечном отрезке времени безболезненно пренебречь этим параметром, т. е. в первом приближении рассматривать более простую систему

ẋ = f(t, x, 0).

Этот результат лежит в основе имеющих широкие приложения малого параметра метода, Крылова -Боголюбова метода усреднения и других асимптотических методов решения Д. у. о. Однако исследование ряда явлений приводит к системе дифференциальных уравнений с малым параметром при производных:

ωẋ = f(t, х, у), ẏ = g(t, х, у).

Здесь уже нельзя, вообще говоря, принимать ω = 0, даже если пытаться составить грубое представление о явлении на конечном отрезке времени.

В теории Д. у. о. рассматриваются нек-рые плодотворные и важные обобщения перечисленных выше задач. Прежде всего, можно расширить класс функций, в к-ром ищется решение задачи Коши (2), (3): определить решение в классе абсолютно непрерывных функций и доказать существование таких решений. Особый интерес для приложений представляет определение решения уравнения (2) в случае, когда функция f(t, х) разрывна или многозначна по х. Наиболее общей в этом направлении является задача о решении дифференциального включения.

Рассматривается и более общее, чем (10), неразрешенное относительно старшей производной Д. у. о. n-го порядка

F(t, у, у̇, ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0;

исследования этого уравнения тесно связаны с теорией неявных функций.

Уравнение (2) связывает производную решения в точке t со значением решения в этой же точке: ẋ(t) -=f(t, x(t)). Но нек-рые прикладные задачи (напр., требующие учета эффекта запаздывания исполнительного устройства) приводят к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом:

ẋ(t) = f(t, x(t - τ));

здесь производная решения в точке t связывается со значением решения в точке t - τ. Изучению таких уравнений, а также более общих дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящен специальный раздел теории Д. у. о.

Изучение фазового пространства автономной системы (9) позволяет подойти к еще одному обобщению Д. у. о. Траекторию этой системы, проходящую через точку х₀, будем записывать в виде x = x(t, x₀). Если точке x₀ поставить в соответствие точку x(t, x₀), то получится преобразование фазового пространства, зависящее от параметра t, к-рое определяет движение в фазовом пространстве. Свойства этих движений исследуются в теории динамич. систем. Такие движения можно рассматривать не только в евклидовом пространстве, но и на многообразиях, изучая, напр., дифференциальные уравнения на торе.

Выше речь шла о Д. у. о. в поле действительных чисел [напр., отыскивалась действительная функция x(t) действительного переменного t, удовлетворяющая уравнению (2)]. Однако нек-рые вопросы теории таких уравнений удобнее изучать с привлечением комплексных чисел. Естественным дальнейшим обобщением является изучение Д. у. о. в поле комплексных чисел. Так, можно рассмотреть уравнение

dw/dz = f(z, w)

где f(z, w) - аналитич. функция своих переменных, и поставить задачу о нахождении аналитич. функции w(z) комплексного переменного z, к-рая удовлетворяла бы этому уравнению. Исследование таких уравнений, уравнений высших порядков и систем составляет предмет аналитической теории дифференциальных уравнений; в частности, она содержит важные для приложений к математич. физике результаты, касающиеся линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Можно также рассматривать уравнение

dx/dt = f(t, x₀), (14)

считая, что x принадлежит бесконечномерному банахову пространству В, t - действительное или комплексное независимое переменное, a f(t, x) - оператор, отображающий произведение (-∞, +∞) × В в В. В виде уравнения (14) можно трактовать, напр., системы Д. у. о. бесконечного порядка (см. Дифференциальные уравнения системы бесконечного порядка). Уравнения вида (14) изучает теория дифференциальных уравнений абстрактных, лежащая на стыке Д. у. о. и функционального анализа. В частности, большой интерес представляют линейные дифференциальные уравнения

dx/dt = A(t)x + F(t)

с ограниченными или неограниченными операторами; в форме такого уравнения удается записать нек-рые классы дифференциальных уравнений с частными производными.

Лит.: [1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [3] Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [4] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; [5] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [6] Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1-2, М., 1953-54; [7] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970.

Е. Ф. Мищенко.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.