ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ - обыкновенное дифференциальное уравнение

F(x, у, у', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, (1)

левая часть к-рого может быть записана в виде полной производной:

d/dx Ф(х, у, у', у^(n-1)) = 0.

Другими словами, уравнение (1) является Д. у. в п. д., если существует такая дифференцируемая функция Ф(х, u₀, u₁, ..., u_n-1), что

F(х, u₀, u₁, ..., u_n) ≡ Ф'_x + u₁Ф'_u0 + u₂Ф'_u1 + ... + u_nФ'_un-1

тождественно по всем аргументам. Решение уравнения n-го порядка в полных дифференциалах сводится к решению уравнения (n-1)-го порядка

Ф(х, у, у', ..., y^(n-1)) = С, C = const.

Пусть F(x, u₀, u₁, ..., u_n) есть n раз непрерывно дифференцируемая функция, а Ф (х, u₀, u₁, ..., u_n-1) -функция, имеющая непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Пусть

ΔФ = Ф'_x u₁Ф'_u0 + u₂Ф'_u1 + ... + u_nФ'_un-1,

Δ₀F = F'_un, Δ_νF = F'_un^-ν - Δ(Δ_ν-1F), ν = 1, ..., n.

Для того чтобы уравнение (1) было Д. у. в п. д., достаточно, чтобы функции Δ_νF, ν = 0, 1, ..., n, не зависели от u_n и Δ_nF = 0 (см. [1]). В частности, u_n может входить в F только линейно.

Уравнение 1-го порядка

М(х, y) + N(x, у)у' = 0, (2)

где функции М, N, М'_y, N'_x определены и непрерывны в открытой односвязной области D плоскости (х, у) и М² + N² > 0 в D, будет Д. у. в п. д. в том и только в том случае, когда

М'_y(х, y) = N'_x(x, у) в D.

Общее решение уравнения (2) в полных дифференциалах имеет вид Ф(х, у) = 0, где

и интеграл берется по любой спрямляемой кривой, лежащей в области D и соединяющей произвольную фиксированную точку (х₀, y₀) ∈ D с точкой (х, у) (см. [2]). Уравнение (2) (в общем случае уравнение (1), линейное по у⁽ⁿ⁾) может быть приведено (при нек-рых предположениях) к Д. у. в п. д. умножением на интегрирующий множитель.

Лит.: [1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Еругин Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 2 изд., Минск, 1972.

Н. X. Розов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.