ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ, многозначное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с многозначной правой частью,- соотношение

dx/dt ∈ F(t, x), (1)

где x = x(t) - неизвестная вектор-функция на нек-ром интервале, F(t, х) - множество в n-мерном пространстве, зависящее от числа t и вектора х = (х₁, ..., х_n). Решением Д. в. (1) обычно называется абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), почти всюду на рассматриваемом интервале изменения t удовлетворяющая соотношению

dx(t)/dt ∈ F(t, x(t)).

В частности, если множество F(t, х) состоит из одной точки, то Д. в. превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение dx/dt = F(t, х). Уравнения вида Dx(t) ∈ F(t, x(t)), где Dx(t) - контингенция [1], в широком классе случаев равносильны Д. в.

К Д. в. приводят, напр., задана о функциях, удовлетворяющих дифференциальному уравнению с заданной точностью

|dx(t)/dt - f(t, x(t))| ≤ ε;

дифференциальные неравенства

f(t, x, dx/dt) ≥ 0;

дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (см. [1], [2]); задачи теории оптимального управления (см. [3], [4]). В задачах управления обычно рассматривается уравнение

dx/dt = f(t, х, u), (2)

где x = x(t) - искомая вектор-функция, a u = u(t) -управление, т. е. вектор-функция, к-рую можно выбирать произвольно среди всех допустимых управлений (таких, что u(t) ∈ U при каждом t, где U - заданное множество, могущее зависеть от t и от x = x(t)). Множество решений уравнения (2) при всевозможных допустимых управлениях u = u(t) удовлетворяет Д. в. (1), где F(t, х) - множество всех значений функции f(t, х, u), когда и пробегает множество U.

В теории Д. в. обычно предполагается, что при любых t, х из рассматриваемой области G множество F(t, х) есть непустое замкнутое ограниченное множество n-мерного пространства. Если множество F(t, х) всегда выпукло, при каждом t оно является полунепрерывной сверху функцией от х (т. е. для любых t, х и любого ε > 0 при всех достаточно малых |х' - х| множество F(t, х') содержится в #&949;-окрестности множества F(t, х)), а при каждом х-измеримой функцией от t (т. е. для любого х и любого шара В в n-мерном пространстве множество значений t, при к-рых множество F(t, х) ∩ В непусто, является измеримым по Лебегу), и если F(t, х) всегда содержится в шаре |x| ≤ m(t), где функция m(t) интегрируема по Лебегу, то при любых начальных условиях x(t₀) = x₀, (t₀, x₀) ∈ G, решение Д. в. существует (см. [5]) и интегральная воронка, состоящая из таких решений, обладает обычными свойствами [5]. От требования выпуклости множества F(t, х) можно отказаться, если оно непрерывно зависит от х. При этом существование решения сохраняется [6], а свойства интегральных воронок - нет.

Обзор работ по теоремам существования решений для Д. в. и связи Д. в. с задачами управления см. в [7]. Для Д. в. рассматривается понятие устойчивости [8]; изучаются существование ограниченных и периодич. решений и другие свойства Д. в. [9].

Лит.: [1] Барбашин Е. А., Алимов Ю. И., «Изв. вузов. Математика», 1962, № 1, с. 3-13; [2] Филиппов А. Ф., «Матем. сб.», 1960, т. 51, № 1, с. 99-128; [3] Wazеwski Т., «Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math.», 1961, t. 9, № 3, p. 151-55; [4] Филиппов А. Ф., «Вестн. МГУ. Сер. матем.», 1959, №2, с. 25-32; [5] Davy J. L., «Bull. Austral. Math. Soc.», 1972, v. 6, № 3, p. 379-98; [6] Оleсh C., «Boll. Unione mat. ital.», 1975, t. 11, №3, p. 189-97; [7] Благодатскиx В. И., Summer School on ord. dif. eq, «Difford 74» (Czechosl.), 1974, p. 29-67; [8] Rоxin E., «J. Dif. Equat.», 1965, v. 1, № 2, p. 115-50; [9] Поволоцкий А. И., Танго Е. А., «Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та», 1970, т. 464, ч. 1, с. 235-42.

А. Ф. Филиппов

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.