ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА - одно из основных понятий современной дифференциальной геометрии, включающее конкретные изучаемые в ней структуры. Д.-г. с. определяется для данного дифференцируемого многообразия Мⁿ как дифференцируемое сечение в расслоенном пространстве (Х, р_F, Мⁿ) с базой Мⁿ, ассоциированном с нек-рым главным расслоением (X, р, Мⁿ), или, в другой терминологии, как дифференцируемое поле нек-рого геометрич. объекта на Мⁿ. Здесь F является нек-рым дифференцируемым -пространством, где - структурная группа Ли главного расслоения (X, р, Мⁿ), или, в другой терминологии, пространством представления группы Ли .

Если (X, р, Мⁿ) - главное расслоение реперов в касательных к Мⁿ пространствах, G - нек-рая замкнутая подгруппа = GL(n, ℝ), a F - однородное пространство /G, то соответствующая Д.-г. с. на Mⁿ наз. G-cтруктурой, или инфинитезимальной структурой 1-го порядка. Напр., если G состоит из всех таких линейных преобразований (элементов из GL(n, ℝ)), к-рые оставляют инвариантным m-мерное пространство в ℝⁿ, то соответствующая G-структура определяет на Мⁿ распределение m-мерных подпространств. Если G является ортогональной группой (n, ℝ) - подгруппой элементов из GL(n, ℝ), сохраняющих скалярное произведение в ℝⁿ, то G-структура есть риманова метрика на Мⁿ, т. е. поле положительно определенного симметрич. тензора g_ij. Аналогично, частными случаями G-структуры на Мⁿ являются почти комплексная и комплексная структуры. Обобщением G-структуры является инфинитезимальная структура r-го порядка, r > 1 (или G-структура высшего порядка); здесь (X, р, Мⁿ) является главным расслоением реперов r-го порядка на Мⁿ, a G - замкнутой подгруппой его структурной группы D^r_n.

Важными частными случаями Д.-г. с. являются связности. Напр., связность в главном расслоении получается, если в роли Мⁿ выступает пространство Р нек-рого главного расслоения (Р, р, В), а G-структурой на Р является такое распределение m-мерных, m = dim P -- dim B, подпространств, дополнительных к касательным пространствам слоев, к-рое инвариантно относительно действия в Р структурной группы расслоения. Связности на многообразии Мⁿ являются частными случаями Д.-г. с. на Мⁿ, но более общими, чем G-структуры на Мⁿ. Напр., аффинная связность на Мⁿ, к-рую можно определить полем объекта связности Г^k_ij(x), получается как Д.-г. с. на Мⁿ, при к-рой (X, р, Мⁿ) является главным расслоением реперов 2-го порядка, - его структурной группой D²_n, а пространство F представления группы D²_n - пространством ℝ³ⁿ с координатами Г^k_ij, где представление определяется формулами

Г^k'_i'j' = (Aⁱ_i'A^j_j'Г^k_ij + A^k_i'j')A^k'_k;

здесь

Aⁱ_i' = (∂xⁱ/∂^i')₀, A^k_i'j' = (∂²x^k/∂x^i'∂^j')₀

- координаты элемента группы D²_n, и A^j_k'A^k'_i = δ^j_i. В случае проективной связности на Mⁿ имеют дело с нек-рым представлением группы D³_n в пространстве ℝ³⁽ⁿ⁺¹⁾, а в случае связностей высшего порядка - с представлениями группы D^r_n. При таком подходе теория Д.-г. с. имеет самый тесный контакт с геометрических объектов теорией.

Лит.: [1] Вагнер В. В., [Дополнение], в кн.: Веблен О., Уайтхед Дж., Основания дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949, с. 135-223; [2] Лаптев Г. Ф., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953, т. 2, с. 275-382; [3] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [4] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.

Ю. Г. Лумисте.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.