ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ - раздел топологии, изучающий топологич. проблемы теории дифференцируемых многообразий и дифференцируемых отображений, в частности диффеоморфизмов, погружений и расслоений. Попытки последовательного построения топологии на базе многообразий, отображений и дифференциальных форм предпринимались еще А. Пуанкаре (Н. Poincaré) в конце 19 в., но в то время полная реализация этой программы оказалась невозможной. Систематическое построение Д. т. удалось осуществить лишь в 30-х гг. 20 в. благодаря усилиям ряда крупных математиков.

В Д. т. были выработаны важные общематематич. понятия - такие, как расслоенные пространства и связанные с ними дифференциально-геометрич. и топологич. понятия: связности, G-структуры, характеристич. классы, а также оснащенные многообразия. Большое значение в развитии Д. т. имела теория (ко)бордизмов, получившая ряд приложений в алгебраич. и аналитич. геометрии (теорема Римана - Роха), теории эллиптич. операторов (теорема об индексе), а также в самой топологии. В 50-х гг. были открыты различные гладкие структуры на сферах, затем была найдена классификация многообразий гомотопического типа сферы и доказана обобщенная гипотеза Пуанкаре, решена задана нахождения полной системы инвариантов всех односвязных многообразий (размерности не менее 5) относительно диффеоморфизмов. В 60-х гг. методами Д. т. был решен ряд основных топологич. проблем: установлена топологическая инвариантность характеристич. классов действительных многообразий, затем выяснено взаимоотношение между категориями дифференцируемых, кусочно линейных и топологических многообразий, были обобщены на неодносвязные многообразия (правда, недостаточно эффективно) методы классификации гладких многообразий, возникла алгебраич. K-теория и эрмитова K-теория. Для неодносвязных многообразий были открыты глубокие связи между характеристич. классами и эрмитовыми формами над фундаментальной группой многообразия и ее гомологиями. В дальнейшем в проблеме гомотопич. инвариантности классов и теории эрмитовых форм над коцепями с инволюцией были получены глубокие результаты методами функционального анализа и алгебраич. методами. Важное значение имеют методы, связанные с задачей классификации погружений одного многообразия в другое и ее различных обобщений.

Особым направлением Д. т., пограничным с вариационным исчислением, является глобальная теория экстремалей различных функционалов на многообразиях геодезических, к-рая оказала большое влияние на развитие самой топологии, позволив дать классификацию векторных расслоений и в дальнейшем создать метод исследования топологич. инвариантов, именуемый K-теорией. Многомерные глобальные задачи вариационного исчисления на многообразиях оказались более трудными, рассматривалась в основном проблема минимальных поверхностей, как экстремалей функционала типа Дирихле. Ряд принципиально новых топологических проблем многомерного вариационного исчисления возник в 70-х гг. из теории элементарных частиц.

Другим особым направлением Д. т., пограничным с дифференциальной геометрией и теорией динамич. систем, является теория слоений (вполне интегрируемых локально систем Пфаффа). Так, было установлено существование замкнутого слоя у любого двумерного гладкого слоения на многих трехмерных многообразиях (напр., сфере). Ряд результатов качественной теории слоений был направлен на выяснение вопроса о существовании на многообразиях важного класса гиперболических динамич. систем. В дальнейшем возникло другое - дифференциально-геометрич. направление теории слоений, где был построен своеобразный аналог теории характеристич. классов для слоений, основанный на теории гомологии алгебр Ли векторных полей.

Значительным успехом методов Д. т. является теория «типичных» особенностей отображений и функций. Методы Д. т. нашли применение в классических задачах алгебраической геометрии; ранее результаты этой области (в частности, теоремы об овалах алгебраич. кривых) стояли изолированно, в стороне от основного развития топологии и геометрии. Развитие Д. т. вызвало к жизни ряд новых проблем и методов в алгебре - напр., так наз. стабильная алгебра, метод формальных групп и др., а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными и динамич. систем, функциональном анализе и геометрии.

В 70-х гг. резко усилился интерес современных областей физики к методам Д. т., связанный с увеличением роли так называемых калибровочных полей (связностей в расслоениях с базой пространство - время) в теории элементарных частиц, сложной топологией решений в теории жидких кристаллов, теории фазовых переходов, в частности в низкотемпературном жидком гелии.

Лит.: [1] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [2] Whitney H., «Ann. Math.», 1936, v. 37, p. 645-80; [3] Том P., в сб.: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, с.293-351; [4] Новиков С. П., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1964, т. 28, №2, с. 365-474; [5] Милнор Дж., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20, в. 6, с. 41-54; [6] Смейл С., там же, 1964, т. 19, в. 1, с. 125*-38; [7] Милнор Дш., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; (8] Munkres J., Elementary differential topology, N. Y., 1963; [9] Mилнор Дж., Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [10] Рохлин В. А., Фукс Д. В., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [11] Рурк К., Сандерсон В., Введение в кусочно линейную топологию, пер. с англ.,М., 1974; [12] Wall С, Surgery on compact manifolds, N. Y.- L., 1970; [13] Вrоwder W., Surgery on simply connected-manifolds, N. Y., 1972; [14] Коннep Л., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [15] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [16] Новиков С. П., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1965, т. 14, с. 248-78; [17] Целочисленные потоки и минимальные поверхности, пер. с англ. и итал., М., 1973; [18] Мищенко А. С., «Успехи матем. наук», 1976, т. 31, в. 2, с. 69-134; [19] Гладкие динамические системы, пер. с англ., М., 1977.

С. П. Новиков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.