ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ - раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезимальные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией.

К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского, многомерной геометрии Грассмана, а также развития проективной геометрии и геометрии в комплексной области стало ясно, что привычная евклидова геометрия не является единственно возможной, и в математике с пользой можно развивать другие неевклидовы геометрии, независимо от их отношения к геометрии физического пространства.

В 1854 Б. Риман (В. Riemann) в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» предложил новую, весьма плодотворную концепцию «многообразия» (см. Риманово пространство). Тем самым он положил напало римановой геометрии, являющейся важнейшей и наиболее разработанной частью Д. г. м. Концепция Римана не только позволила единообразно описать широкий класс геометрий (включая евклидову геометрию и неевклидову геометрию Лобачевского), но и дала математич. аппарат, в рамках к-рого разнообразные задачи математич. физики и анализа, связанные с дифференциальными уравнениями, получили геометрич. трактовку, что позволило применять для их решения различные геометрич. и топологич. соображения, открыв новые возможности для применения геометрии к анализу. Именно в рамках римановой геометрии А. Эйнштейну (A. Einstein) удалось реализовать идеи о физич. пространстве как о континууме, свойства к-рого определяются распределением материи. Римановым пространством наз. дифференцируемое многообразие М, у к-рого в каждом касательном пространстве Т_pМ задана евклидова метрика g_p (т. е. положительно определенное скалярное произведение), гладко зависящая от точки р ∈ М. Наличие в касательном пространстве Т_pМ риманова пространства М скалярного произведения позволяет по формулам евклидовой геометрии определить угол между инфи-нитезимальными кривыми (т. е. векторами из Т_pМ), длину инфинитезимальной кривой, а также объем k-мерного параллелепипеда в Т_pM, а затем, с помощью интегрирования, длину гладкой кривой на М и объем k-мерного подмногообразия в М. Это, в свою очередь, позволяет рассматривать в рамках римановой геометрии различные вариационные задачи и, в частности, определить в римановом пространстве понятие геодезической (или геодезической линии) как кривой экстремальной длины и минимальной поверхности, как подмногообразия экстремального объема.

Изучение геодезических риманова пространства представляет собой одну из основных задач современной (глобальной) римановой геометрии. Важность ее для приложений определяется тем, что разнообразные динамич. системы физики интерпретируются как равномерное движение по геодезическим того или иного псевдориманова пространства. К таким системам относятся, напр., движения пробных тел (см. Геодезических гипотеза) в общей теории относительности, распространение света в неоднородной среде в приближении геометрической оптики, различные системы классической механики. Было обнаружено, что нек-рые важные уравнения с частными производными (уравнение движения идеальной жидкости и уравнение Эйнштейна общей теории относительности) интерпретируются как уравнения геодезических для нек-рых бесконечномерных римановых пространств, называемых также гильбертовыми многообразиями (см. [5], [12]). Эти открытия стимулировали развитие геометрии бесконечномерных многообразий - глобальный анализ.

Уравнения геодезических удается полностью проинтегрировать только в редких случаях. В связи с этим важную роль приобретают геометрич. и топологич. методы качественного исследования поведения геодезических. Важнейшим среди них является созданная М. Морсом (М. Morse) вариационная теория геодезических (см. Морса теория).

Обобщение теории Морса на псевдоримановы пространства привело к доказательству теорем сингулярности, утверждающих, что в рамках общей теории относительности физическое пространство-время, как правило, должно обладать сингулярностью (неполными геодезическими). Физически сингулярности интерпретируются, напр., как «черные дыры» (см. [7]).

Поведение геодезических риманова пространства в значительной степени определяется его кривизны тензором - тензором Римана - геометрическим объектом, характеризующим отклонение риманова пространства от евклидова. Подобно гауссовой кривизне поверхности, обобщением к-рой он является, тензор кривизны риманова пространства М в точке х определяет свойства пространства М в окрестности точки х. Более того, тензор кривизны несет богатую информацию о глобальных свойствах риманова пространства и о его топологии, напр. о фундаментальной группе, о Бетти числах и о характеристических классах. Изучение связи между локальными свойствами тензора кривизны и глобальными свойствами риманова пространства составляет одну из главных задач современной глобальной римановой геометрии.

Любое подмногообразие N риманова пространства М наследует от М структуру риманова пространства. Изучение подмногообразий риманова пространства, а также выяснение вопроса о реализации данного риманова пространства N в виде подмногообразия данного риманова пространства М составляют основное содержание геометрии подмногообразий (см. также Изометрическое погружение).

Важным направлением исследования римановых пространств, начатым работами С. Ли (S. Lie) и В. Киллинга (W. Killing), является изучение его группы движений (т. е. преобразований, сохраняющих длины кривых), к-рая всегда есть группа Ли. Многие римановы пространства М обладают достаточно богатой группой движений, причем наличие такой группы оказывается очень полезным при изучении целого ряда геометрии, вопросов. Наличие транзитивной группы движений G позволяет свести изучение геометрии и топологии пространства М к вопросам теории групп Ли (см. Однородное пространство).

Описание (связной) группы G движений риманова пространства (М, g) сводится к описанию алгебры Ли инфипитезимальных движений (или, иначе, Киллинга векторов), определяемых как поля скоростей однопараметрич. подгрупп группы G. Важную роль играют качественные геометрич. методы изучения киллинговых полей и выяснение связи между киллинговыми полями и геометрич. свойствами пространства, прежде всего свойствами его тензора кривизны. Так, напр., доказывается, что в компактном римановом пространстве с отрицательной кривизной Риччи не существует киллинговых полей; интегральная кривая киллингова поля, проходящая через точку экстремума его длины, является геодезической [16]; поведение киллингова поля X вблизи его неподвижных точек (точек, где Х = 0) определяет важный топологич. инвариант риманова пространства - его Понтрягина числа [19].

Особый интерес представляют римановы пространства, обладающие достаточно большой группой движений. Как обнаружил еще в 1868 Г. Гельмгольц (Н. Helmholtz) и строго доказал С. Ли, n-мерное риманово пространство М, обладающее для данного n максимальной (в смысле размерности) группой движений является постоянной кривизны пространством (а именно, евклидовым пространством Еⁿ, пространством Лобачевского Λⁿ или сферич. пространством Римана Sⁿ). Наиболее близкими к пространствам постоянной кривизны по своим свойствам являются симметрические пространства, т. е. римановы пространства, в к-рых геодезич. симметрия относительно произвольной точки является движением. Эти пространства всегда имеют транзитивную группу движений и допускают классификацию с помощью теории полупростых алгебр Ли (см. [8]).

Важную роль в дифференциальной геометрии играет понятие ковариантной производной _∇XT тензорного поля Т на М по направлению вектора X ∈ Т_pМ, к-рое ввел Г. Риччи (G. Ricci), развивший на основе этого понятия «абсолютное дифференциальное исчисление» (см. Тензорный анализ). Аппарат ковариантного дифференцирования оказался удобным для получения инвариантов геометрических объектов. Так, найденная Э. Кристоффелем (Е. Christoffel) и Р. Липшицем (К. Liepschitz) полная система инвариантов римановой метрики состоит из тензора кривизны и его последовательных ковариантных производных.

Понятие ковариантной производной позволяет канонич. образом определить в римановом пространстве ряд дифференциальных операторов, свойства к-рых тесно связаны с геометрией пространства. Важнейшими из них являются оператор Бельтрами-Лапласа Д, введенный Э.Бельтрами (Е. Beltrami) и совпадающий для евклидова пространства с Лапласа оператором. Широкий класс линейных уравнений с частными производными 2-го порядка получает интерпретацию в рамках псевдо-римановых пространств как уравнений, соответствующих оператору Бельтрами-Лапласа. Это позволяет использовать риманову геометрию для изучения уравнений. Первый пример такого подхода (для уравнений теплопроводности) был дан Б. Риманом [1]. К настоящему времени получены результаты, устанавливающие связь между свойствами оператора Бельтрами - Лапласа риманова пространства, в частности его спектром, и геометрией пространства - его кривизной, числом замкнутых геодезических и т. п. (см. [19]).

Геометрическую интерпретацию понятия ковариантной производной дал Т. Леви-Чивита (Т. Levi-Civita). Он показал, что в римановом пространстве можно каноническим образом определить параллельный перенос касательных векторов (тензоров) вдоль кривых, а оператор ковариантной производной Риччи является оператором инфинитезимального параллельного переноса (см. Леви-Чивита связность).

В 1926 Э. Картан (Е. Cartan) ввел понятие голоно-нии группа, как группы Г_p линейных преобразований касательного пространства Т_pМ риманова пространства М, порожденной операторами τ_γ параллельного обноса вдоль всевозможных петель γ. Оказалось, что группа голономии тесно связана с тензором кривизны пространства и для односвязного аналитич. пространства полностью определяется тензором кривизны в точке и всеми его ковариантными производными, - с другой стороны, она содержит нек-рую информацию о геометрии и топологии пространства. Так, зная группу голономии, можно найти все параллельные поля, а также решить вопрос о возможности разложения риманова пространства в прямое произведение двух других римановых пространств. По группе голономии симметрич. пространства можно восстановить само пространство и описать его группу движений.

В 1919 Г. Вейль (Н. Weyl), развивая идею параллельного переноса Т. Леви-Чивита и обобщая риманову концепцию пространства, рассмотрел пространство линейной связности - многообразие, в к-ром задан закон параллельного переноса касательных векторов вдоль кривых. В пространстве линейной связности определяются понятия геодезической, тензора кривизны, группы голономии. Риманово пространство является частным случаем пространства линейной связности, для к-рого группа голономии содержится в ортогональной группе. Если группа голономии содержится в линейной группе гомотетий ℝ*⋅SO(n), то связность наз. конформной. В этом случае на многообразии возникает конформная структура.

Развитие идей Г. Вейля привело к созданию современной теории связности, изучающей связность (т. е. закон параллельного перенесения слоев вдоль кривых на базе) в данном расслоении. В рамках теории связ-ностей развивается, в частности, теория характеристич. классов [11], [14]. Важную роль играет понятие связности в современной физике. Различные физич. поля (в частности, электромагнитное и гравитационное) могут быть интерпретированы как поля кривизны связности в том или ином расслоении в рамках теории Янга-Миллса. Наличие связности в любом физич. расслоении, т. е. расслоении, сечениями к-рого являются физич. поля, вытекает из физич. возможности сравнения характеристик поля в разных точках пространства - времени.

Другим обобщением риманова пространства является финслерово пространство, определяемое как многообразие с финслеровой метрикой. Примером такой метрики является лагранжиан механич. системы. Финслеровы многообразия естественным образом появляются также и в оптике.

Новый групповой подход к обоснованию геометрии, известный под названием «эрлангенской программы», был предложен Ф. Клейном (F. Klein) в 1872. В качестве основного объекта изучения геометрии Ф. Клейн предложил рассматривать G-пространство - множество М вместе с заданной группой G его преобразований.

Основной задачей геометрии по Клейну является изучение инвариантов группы преобразований (см. Эрлангенская программа). Несмотря на то, что подход Ф. Клейна оказался слишком узким - многие важные римановы пространства обладают тривиальной группой движений, - этот подход сыграл важную роль в развитии Д. г. м. Он привлек внимание к важному классу - однородным пространствам (т. е. G-пространствам с транзитивной группой G), изучение геометрии к-рых сводится в рамках эрлангенской программы к вопросам теории групп Ли, и способствовал дальнейшему обобщению концепции Римана. Это обобщение состояло в рассмотрении геометрии других (неримано-вых) инфинитезимальных структур на многообразии, задаваемых полем тех или иных геометрич. величин. Многие из этих структур впервые появились как инварианты группы движений того или иного однородного пространства.

Примерами неримановых инфинитезимальных геометрич. структур являются абсолютный параллелизм (поле реперов), конформная связность, проективная связность, линейная связность, распределение (или, более общо, флаговая структура), почти комплексная структура, почти симплектическая структура, поле аффиноров и т. п. Геометрия этих структур развивается по аналогии с римановой геометрией. Ее основными вопросами являются следующие: 1) Построение по данной геометрической структуре других (производных от нее) структур и, в частности, инвариантов. Иными словами, построение функторов из категории геометрич. структур данного типа в другие категории. 2) Изучение группы автоморфизмов геометрич. структуры, изучение геометрич. структур с достаточно большой группой автоморфизмов, описание структур данного типа с максимальной группой автоморфизмов, классификация структур данного типа на однородных пространствах. 3) Проблема эквивалентности, т. е. нахождение необходимых и достаточных условий для того, чтобы две геометрич. структуры были эквивалентны. 4) Изучение связи между топологией и структурой гладкого многообразия, с одной стороны, и свойствами заданной на нем геометрич. структуры - с другой. 5) Изучение отображений многообразий с геометрич. структурами, в частности изучение расслоений и подмногообразий.

Наиболее важным классом геометрических структур являются транзитивные структуры или G-структуры (см. [10]). Все перечисленные выше примеры структур (кроме поля аффиноров) являются G-структурами. Общая теория G-структур основана на двух фундаментальных идеях Э. Картана: понятии продолжения и понятии структурной функции. В частности, для римановой метрики эти понятия приводят к параллельному перенесению Левц-Чивиты и тензору кривизны. Теория G-структур конеиного типа развивается во многом аналогично римановой геометрии. В геометрии G-структур бесконечного типа наиболее изученные вопросы относятся к случаю локально плоских (интегрируемых) структур. Важнейшими из них являются комплексная структура (см. Аналитическое многообразие) и симплектическая структура, лежащая в основе гамильтоновой механики.

Э. Картан, развивая геометрич. методы решения систем уравнений с частными производными (систем Пфаффа), создал теорию внешних дифференциальных форм, оказавшую исключительно большое влияние на развитие дифференциальной геометрии. Оператор внешнего дифференцирования d оказался полезным для выражения условия интегрируемости систем уравнений с частными производными. Так, напр., необходимым и достаточным условием полной интегрируемсти систем уравнений Пфаффа ω₁ = ... = ω_k = 0 является замкнутость идеала J, порожденного линейными дифференциальными формами ω₁, ..., ω_k относительно d(dJ ⊂ J) (Фробениуса теорема). Теория дифференциальных форм была успешно применена Э. Картаном для решения разнообразных задач дифференциальной геометрии и теории групп Ли подвижного репера методом. Теория интегрирования устанавливает связь между исчислением дифференциальных форм и гомологиями многообразия (см. Рама когомологии, Дифференциальная форма).

В римановом пространстве оператор внешнего дифференцирования d выражается через оператор ковариантного дифференцирования ∇. Более того, теория Ходжа устанавливает глубокую связь между оператором d и оператором Бельтрами-Лапласа Λ, действующим в пространстве дифференциальных форм, к-рый можно выразить через оператор ∇. Теорема Ходжа утверждает, что пространство когомологий компактного многообразия изоморфно пространству гармонических (т. е. аннулируемых оператором Λ) дифференциальных форм (см. Гармоническая форма). Это и ряд других утверждений теории Ходжа дает информацию о строении кольца когомологий H*М риманова пространства, обладающего нетривиальными параллельными дифференциальными формами (см. Параллельное поле) и, тем самым, имеющего нестандартную группу голономии Г ≠ SO(n), О(n). Примерами таких пространств являются кэлеровы многообразия и симметрические пространства.

Важным направлением исследований современной дифференциальной геометрии является изучение естественных расслоений над произвольным многообразием М (касательных и кокасательных расслоений порядка k, тензорных расслоений, расслоений реперов порядка k, расслоений струй и др.) и выявление имеющихся там естественных (т. е. инвариантных относительно диффеоморфизмов многообразия М) геометрических структур. Примерами таких структур являются канонические симплектическая структура в кокасательном расслоении Т*М и контактная структура в расслоении J¹(M, ℝ) 1-струй функций на М, играющие важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка и в гамильтоновой механике, а также оператор внешнего дифференцирования в расслоении Λ*(М) внешних дифференциальных форм на М.

Успешно развивается алгебраич. подход к дифференциальной геометрии. В качестве исходного понятия рассматривается не многообразие M, а коммутативное кольцо F(кольцо функций на многообразии), а само многообразие М определяется в терминах кольца F как пространство максимальных идеалов (см. Схема). Векторные поля на М определяются как дифференцирования кольца (см. Дифференциальный оператор модуля). Такой подход позволяет обобщить различные результаты дифференциальной геометрии и упростить их доказательство, применить идеи дифференциальной геометрии к другим математич. теориям (напр., теории колец и модулей) и, наоборот, использовать различные алгебраич. результаты в дифференциальной геометрии (см. [17]).

Лит.: [1] Риман Б., Избранные произведения, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Картан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М.-Л., 1936; [3] Каган В. Ф., Очерки по геометрии, М., 1963, с. 437-519; [4] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [6] Эйзенхард Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [7] Xокинг С, Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства - времени, пер. с англ., М., 1977; [8] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [9] Бишоп Р.-Л., Криттенден Р.-Дж., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [10] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [11] Шварц Дж., Дифференциальная геометрия и топология, пер. с англ., М., 1970; [12] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [13] Зуланке П., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975; [14] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [15] Lichnérowicz A., Géometric des groupes de transformations, P., 1958; [16] Коbayashi S., Nomizu K., Foundations of differential geometry, v. 1-2, N. Y., 1963-69; [17] Виноградов A. M., Красильщики. С., Лычагин В. В., Применения нелинейных дифференциальных уравнений, М., 1977; [18] Чжень С. С, «Успехи матем. наук», 1973, т. 33, в. 3, с. 15 - 111; [19] Молчанов C. А., там же, 1975, т. 30, в. 1, с. 3-59.

Д. В. Алексеевский.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.