ДИФФЕРЕНЦИАЛ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ - главная линейная часть приращения функции.

1) Действительная функция y=f(x) действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение

Δу = f(x + Δx) - f(х)

(при условии, что точка х + Δх лежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде

Δу = АΔх + α,

где α/Δх → 0 при Δx → 0. При этом АΔх обозначается через dy и наз. дифференциалом функции f(x) в точке х. Д. dy при фиксированном х пропорционален Δх, т. е. является линейной функцией от Δх. Дополнительный член α при Δх → 0 является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δх (и по сравнению с dy, если А #&8800; 0). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции.

Для функции, дифференцируемой в точке х, Δу → 0 при Δх → 0, т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x) дифференцируема в точке х в том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную

f'(x) = lim_Δx→0 Δy/Δx = A;

при этом

dy = f'(х)Δх.

Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

Кроме обозначения dy используется обозначение df(x); тогда предыдущее равенство принимает вид

df(x) = f'(х)Δх.

Приращение аргумента Δх обозначается также через dx и наз. дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать

dy = f'(x)dx.

Отсюда f'(x) = dy/dx, т. е. производная равна отношению Д. dy и dx. Если A = 0, то Δy/dy → 1 при Δx →l 0, т. е. Δу и dy при Δх → 0 являются в случае A ≠ 0 эквивалентными бесконечно малыми; этим, равно как и простой структурой Д. (линейностью по Δх), часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Δy ≈ dy при малых Δх. Если хотят, напр., вычислить f(x + Δx), зная f(x) (Δх мало), то полагают

f(x + Δx) ≈ f(x) + dy.

Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность.

Геометрическое истолкование Д. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке М(х₀, у₀) имеет вид y - y₀ = f'(х₀)(х - х₀). Если положить х = х₀ + Δх, то y - y₀ = f'(x₀)Δx. Правая часть есть значение Д. функции f(x) в точке х₀, отвечающее рассматриваемому значению Δх. Таким образом, Д. совпадает с соответствующим приращением ординаты касательной к кривой y = f(x) (см. отрезок NT на рис. 1). При этом α = Δy - dy, т.е. значение |α| совпадает с длиной отрезка TS.

Рис. 1.

2) Определение дифференцируемое и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от n действительных переменных. Напр., в случае n = 2 действительная функция z = f(x, у) наз. дифференцируемой в точке (х, у) по совокупности переменных х и у, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение

Δz = f(х + Δx, y + Δy) - f(x, у) может быть представлено в виде

Δz = A Δx + BΔy + α, где А и В - некоторые числа, α/ρ → 0 при ρ → 0, ρ = √(Δx² + Δy²); предполагается, что точка (х + Δх, у + Δy) принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2). При этом вводится обозначение

dz = df(x, у) = АΔх + ВΔу

и dz наз. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x, у)

в точке (х, у) (иногда с добавлением: «по совокупности переменных х и у»). Для фиксированной точки (х, у) Д. dz есть линейная функция от Δх и Δу; разность α = Δz - dz есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с ρ. В этом смысле dz есть главная линейная часть приращения Δz.

Рис. 2.

Если f(x, у) дифференцируема в точке (х, у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные

f'_x(x, у) = А, f'_y(x, у) = В.

Таким образом

dz = df(x, y) = f'_x(x, у) Δx + f'_y(x, у)Δy.

Приращения Δх и Δу независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются dx и dy. По этой причине можно написать

dz = df(x, y) = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, у) dy.

Существование конечных частных производных, вообще говоря, не влечет дифференцируемое функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность)-здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного.

Если функция f(x, у) имеет в точке (х, у) частную производную по х, то произведение f'_x(x, y)dx наз. ее частным дифференциалом по х; аналогично, f'_y(x, y)dy есть частный Д. по у. Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д. df(x₀, y₀) есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f(x, у) в точке (х₀, у₀, z₀), где z₀ = f(x₀, y₀) (см. рис. 3).

Рис. 3.

Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки

(x₀, y₀) функция f(x, у) имеет частную производную f'_x, непрерывную в точке (х₀, у₀), и, кроме того, имеет в точке (х₀, у₀) частную производную f'_y, то f(x, у) дифференцируема в этой точке.

Если функция f(x, у) дифференцируема в каждой точке открытой области D, то в любой точке этой области

dz = A(х, y)dx + B(x, y)dy,

причем А(х, y) = f'_x(x, у), В(х, y) = f'_y(x, у). Если при этом существуют непрерывные в D частные производные А'_y и В'_x, то всюду

А'_y = В'_x.

Это показывает, в частности, что не всякое выражение

А(х, y)dx + B(x, y)dy

с непрерывными А и В (в области D) является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dx с непрерывной в нек-ром промежутке функцией А(х) служит Д. для нек-рой функции.

Выражение Adx + Bdy является полным Д. нек-рой функции z = f(x, у), в односвязной открытой области D, если А(х, у) и В(х, у) непрерывны в этой области и удовлетворяют условию А'_y = В'_x и при этом а) А'_y и В'_x непрерывны или б) А(х, у) и В(х, у) дифференцируемы по совокупности переменных х и у всюду в D (см. [7], [8]).

О Д. действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о Д. высших порядков см. также Дифференциальное исчисление.

3) Пусть функция f(x) определена на нек-ром множестве Е действительных чисел, х - предельная точка этого множества, х ∈ Е, х + Δх ∈ Е, Δу = АΔх + α, где α/Δх → 0 при Δх → 0; тогда функция f(x) наз. дифференцируемой по множеству Е в точке х, a dy = A Δх наз. ее дифференциалом по множеству E в точке х. Это есть обобщение Д. действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются Д. в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный Д. (см. Аппроксимативная дифференцируемость).

Подобным же образом вводится Д. по множеству для действительных функций многих действительных переменных.

4) Все эти определения дифференцируемости и Д. почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции п вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и Д. функции множества по отношению к нек-рой мере.

Лит.: [1] Толстов Г. П., Элементы математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1974; [2] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., l.l, М., 1969; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [5] Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; [6] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [7] Толстов Г. П., О криволинейном и повторном интеграле, М,-Л., 1950 (Тр. Матем. ин-та ан СССР, т. 35); [8] его же, «Успехи матем. наук», 1948, т. 3, в. 5, с. 167-70.

Г. П. Толстов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.