ДИФФЕОМОРФИЗМ

ДИФФЕОМОРФИЗМ, дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм,- взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение f: M → N дифференцируемого многообразия М (напр., области в евклидовом пространстве) в дифференцируемое многообразие N, обратное к к-рому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если f(M) = N, то говорят, что М и N диффеоморфны. С точки зрения дифференциальной топологии, диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до Д. (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизма, исключая случаи малых размерностей).

Хотя сам термин «Д.» был введен сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются Д., а многие семейства преобразований - группами Д. В частности, это относится к Д., сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (напр., контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие Д. в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах - контактные преобразования и канонические отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо к-рых в последнее время (70-е гг. 20 в.) нередко употребляют термин «Д.» с добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (напр., «симплектический Д.» вместо «канонического преобразования»).

Изучались и топологические (точнее, гомотопические) свойства группы Diff M всех Д. многообразия М на себя, в к-рой надлежащим образом введена топология. Они могут быть неожиданно сложными (см., напр., [1], где имеются также обзор и библиография). Этот вопрос связан с рядом важных задач гомотопич. топологии (напр., с гомотопич. группами сфер). В принципе знание свойств Diff M помогло бы в решении этих задач, однако в настоящее время (1978) ситуация является скорее обратной: продвижение в изучении Diff M связано как раз с использованием того, что уже известно об этих задачах, или, в лучшем случае, осуществляется параллельно с их решением и при помощи тех же методов. Относительно алгебраич. свойств группы Д. класса С^r (случай r = ∞ не исключается) замкнутого n-мерного многообразия доказано, что при r ≠ n + 1 ее связная компонента единицы является простой группой, т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей (см. [2], [3]; при r = n + 1 ситуация не выяснена). Для незамкнутого n-мерного многообразия М доказана простота группы всех тех Д. f класса С^r (r ≠ n + 1), к-рые можно соединить с тождественным отображением 1_M посредством непрерывного семейства Д. f_t(0 ≤ t ≤ 1, f₀ = 1_M; f₁ = f), не сдвигающего точек вне нек-рого компакта (зависящего от этого семейства).

Лит.: [1] Antonelli P. L., Burghelea D., Кahn P. J., «Topology», 1972, v. 11, № 1, p. 1-49; [2] Thurston W., «Bull. Amer. Math. Soc.», 1974, v. 80, № 2, p. 304-307; [3] Mather J. N., «Comment. math. helf.», 1974, v. 49, № 4, p. 512-28; 1975, v. 50, № 1, p. 33-40.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.