ДИСТРИБУТИВНАЯ РЕШЕТКА

ДИСТРИБУТИВНАЯ РЕШЕТКА, дистрибутивная структура, - решетка, в к-рой справедливо тождество

(a + b)c = ac + bc,

равносильное как

a + c= (а + с)(b + c),

так и

(a + b)(а + с)(b + с) = ab + ас + bс.

Д. р. характеризуются тем, что все их выпуклые подрешетки служат смежными классами конгруэнции. Всякая Д. р. изоморфна решетке подмножеств (но не обязательно всех) нек-рого множества. Важнейшим частным случаем Д. р. являются булевы алгебры. В Д. р. для любого конечного множества I выполняются равенства

a ∑_i∈I b_i = ∑_i∈I ab_i

и

a + ∏_i∈I b_i = ∏_i∈I (a + b_i)

а также

∏_i∈I∑_j∈J(i) a_ij = ∑_φ∈Ф ∏_i∈I a_iφ(i)

и

∑_i∈I ∏_j∈J(i) a_ij = ∏_φ∈Ф ∑_i∈I a_iφ(i),

где J(i) - конечные множества, а Ф - множество всех однозначных функций φ, ставящих в соответствие элементу i из I элемент φ(i) из J(i). В полной Д. р. указанные равенства имеют смысл и в случае бесконечных множеств I и J(i). Однако справедливы они не всегда. Полные Д. р. (см. Полная решетка), удовлетворяющие последним двум тождествам для любых множеств I и J(i), наз. вполне дистрибутивными.

Лит.: [1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [2] Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; [3] Grаtzеr G., Lattice theory. First concepts and distributive lattices, S. F., 1971.

Л. А. Скорняков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.