ДИСТРИБУТИВНАЯ КВАЗИГРУППА

ДИСТРИБУТИВНАЯ КВАЗИГРУППА - квазигруппа, в к-рой выполняются левый и правый дистрибутивные законы: x ⋅ yz = xy ⋅ xz, yz ⋅ x = yx ⋅ zx. Эти два закона в квазигруппах не зависят друг от друга (существуют леводистрибутивные квазигруппы, не являющиеся праводистрибутивными, [1]). Примером Д. к. служит множество О рациональных чисел с операцией (х + у)/2. Всякая идемпотентная медиальная квазигруппа (т. е. квазигруппа Q, в к-рой выполняются соотношения x² = х и ху ⋅ uv = xu ⋅ yv для всех х, у, u, v ∈ Q) дистрибутивна. В общем случае всякая Д. к. Q(⋅) изотопна коммутативной Муфанг лупе [3]. Парастрофы (квазигруппы относительно обратных операций, см. Квазигруппа) Д. к. тоже дистрибутивны и изотопны той же коммутативной лупе Муфанг. Если четыре элемента а, b, с, d в Д. к. связаны медиальным законом: ab ⋅ cd = ас ⋅ bd, то они порождают медиальную подквазигруппу. В частности, всякие три элемента Д. к. порождают медиальную подквазигруппу. В Д. к. трансляции являются автоморфизмами, поэтому в определенном смысле Д. к. однородна: ни один элемент, ни одна подквазигруппа не выделяются. Группа, порожденная х всеми правыми Трансляциями Д. к., разрешима [4].

Лит.: [1] Stein Sh., «Publ. Math. Debrecen», 1959,v. 6, № 1-2, p. 10 - 14; [2] Белоусов В. д., «Матем. сб.», 1960, т. 50, № 3, с. 267-98; [3] его же, Основы теории квазигрупп и луп, М., 1967; [4] Fischer В., «Math. Z.», 1964, Bd 83, № 4, S. 267-303.

В. Д. Белоусов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.