ДИСТАЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ДИСТАЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - такая динамическая система {T^t} с метрич. фазовым пространством X, что для любых точек х ≠ у нижняя грань расстояний

inf_t ρ(Т^tх, T^ty) > 0.

Если в нек-рой динамич. системе какая-либо пара точек х ≠ у обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким образом, Д. д. с.- это динамич. система, для к-рой все пары точек х ≠ у дистальны.

Приведенное определение годится для «общих» динамич. систем, когда «время» t пробегает произвольную группу G. Содержательные результаты получаются, если G локально компактна (основными являются «классические» случаи каскада или потока, т. е. когда G = ℤ или G = ℝ, но рассуждения при этом почти не упрощаются), а X компактно. Особый интерес при этом представляет тот случай, когда X является минимальным множеством (общий случай в известном смысле сводится к этому, а именно, при указанных ограничениях на G и X замыкание каждой траектории оказывается минимальным множеством). Важнейший пример Д. д. с.- система, возникающая в замыкании почти периодич. траектории какой-нибудь динамич. системы. Другой пример - нильпотоки (см. [1]). Как и в этих примерах, строение Д. д. с. с минимальным X при указанных условиях допускает довольно детальное описание алгебраич. характера (см. [2]; изложение теории Д. д. с. и их обобщений и библиографию см. в [3]).

Лит.: 11] Ауслендер Л., Грин Л., Хан Ф., Потоки на однородных пространствах, пер. с англ., М., 1966; [2] Furstenberg Н., «Аmеr. J. Math.», 1963, v. 85, № 3, p. 477-515; [3] Бронштейн И. У., Расширения минимальных групп преобразований, Киш., 1975.

Д. В. Аносов.

Источники:

Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.