ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР

ДИССИПАТИВНЫЙ ОПЕРАТОР - линейный оператор А с областью определения D_A, плотной в гильбертовом пространстве Н, и такой, что

Im(Ах, х) ≥ 0 при х ∈ D_A.

Иногда это требование заменяется условием Re(Ах, х) ≤ 0 при x ∈ D_A, т. е. диссипативность А в этом смысле эквивалентна диссипативности оператора (-iA).

Д. о. наз. максимальным, если он не имеет собственных диссипативных расширений. Д. о. всегда допускает замыкание, к-рое также будет Д. о., в частности максимальный Д. о.- замкнутый оператор. Всякий Д. о. допускает расширение до максимального. Для Д. о. все точки λ с Im λ < 0 есть точки регулярного типа, при этом

||Ax - λx|| > |Im λ| ||x||, x ∈ D_A.

Д. о. является максимальным тогда и только тогда, когда при всех λ с Im λ < 0 имеет место (А - λI)D_A = Н. Эквивалентное условие максимальности Д. о. А -его замкнутость и выполнение условия

Im(А*у, у) ≤ 0, у ∈ D_A*.

Если А₀ - максимальный симметрический оператор, то либо А₀, либо (-А₀) является максимальным Д. о. Для произвольного симметрич. оператора А₀ можно рассматривать диссипативные и, в частности, максимальные диссипативные расширения; задача их описания эквивалентна задаче описания всех максимальных диссипативных расширений консервативного оператора B₀ = iA₀: Re(В₀х, х) = 0, x ∈ D_B.

Д. о. тесно связаны со сжатиями и с так наз. аккретивными операторами, т. е. такими операторами А, для к-рых iA есть Д. о. В частности, аккретивный оператор А максимален тогда и только тогда, когда (-А) является порождающим оператором (генератором) непрерывной однопараметрич. полугруппы сжатий {T_s}_s≥0 в Н. С помощью преобразований Кэли

Т = (A - I)(А + I)^-1, А = (I + Т)(I - Т)^-1,

где А - максимальный аккретивный оператор, а Т -сжатие, не имеющее λ = 1 собственным значением, строится функциональное исчисление и, в частности, теория дробных степеней максимальных Д. о.

Для ограниченных линейных операторов А определение Д. о. эквивалентно требованию А_J ≥ 0, где A_J = -1/2i (A* - А) - мнимая компонента оператора А.

Для вполне непрерывного Д. о. в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с ядерной мнимой компонентой A_J имеются многочисленные критерии (т. е. необходимые и достаточные условия) полноты системы их корневых векторов. Напр.,

где λ_j(А) - все собственные значения оператора А, j = 1, ..., ν(A) ≤ ∞, a Sp A_j - след оператора A_J (критерий Лившица);

где А_R = 1/2 (А + А*) - действительная компонента оператора А, а n_± - количество характеристич. чисел оператора А_R в отрезках [0, ρ] и [-ρ, 0] (критерий Крейна). Система {ψ_j} собственных векторов, отвечающих различным собственным числам λ_j, j = 1, 2, ... Д. о., образует базис своей замкнутой линейной оболочки, эквивалентный ортонормированному, если

Понятие Д. о. введено и для нелинегшых и даже многозначных операторов А. Такой оператор в гильбертовом пространстве наз. Д. о., если для любых двух его значений выполнено неравенство

Re(Ах₁ - Ах₂, х₁ - х₂) ≤ 0.

Это понятие лежит в основе теории однопараметрических нелинейных сжимающих полугрупп и связанных с ними дифференциальных уравнений. Другое обобщение понятия Д. о. относится к операторам, действующим в банаховых пространствах с так называемым полувнутренним произведением. Наконец, имеется обобщение, связанное с операторами, действующими в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.

Лит.: [1] Секефальви-Надь Б., Фояш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [2] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1967; [3] Лившиц М. С., «Матем. сб.», 1954, т. 34, № 1, с. 145-99; [4] Филлипс Р. С., «Математика», 1962, т. 6, № 4, с. 11-70; [5] Сrandаll М., Раzу A., «J. Funct. Analys.», 1969, v. 3, p. 376-418; [6] Lumer G., Phillips R., «Pacific J. Math.», 1961, v. 11, p. 679-98.

И. С. Иохвидов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.